Bộ đề thi học sinh giỏi môn Toán học Lớp 6 (Có lời giải)

Nội dung text: Bộ đề thi học sinh giỏi môn Toán học Lớp 6 (Có lời giải)

1. A. 200 B. 400 C. 500 D. 600 Câu 12. Có 9 miếng bánh chưng cần ráng vàng cả hai mặt. Thời gian ráng mỗi mặt cần 3 phút. Nếu dùng một chiếc chảo mỗi lần chỉ ráng được nhiều nhất 6 miếng thì cần thời gian ít nhất là bao lâu để ráng xong 9 miếng bánh chưng đó A. 9 phút B. 12 phút C. 18 phút D. 27 phút II. PHẦN TỰ LUẬN Câu 1. (4 điểm) a) Cho biết ab 4 chia hết cho 13 ab,. Chứng minh rằng 10 b 13 b) Tìm số nguyên tố ab a b 0 sao cho ab ba là số chính phương Câu 2. (4 điểm) a) Cho M a b b c a c a .Trong đó bc, còn a là một số nguyên âm. Chứng minh rằng biểu thức M luôn dương b) Tìm tất cả các cặp số nguyên sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng. Câu 3. (4 điểm) Cho đoạn thẳng AB; điểm O thuộc tia đối của tia AB, Gọi M, N thứ tự là trung điểm của OA,. OB a) Chứng tỏ rằng OA OB b) Trong ba điểm OMN,,điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại. c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB) Câu 4. (2 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: 1234 2017 1111 1 B 2017 : 4 5 6 7 2020 20 25 30 35 10100 ĐÁP ÁN I.trắc nghiệm 1C 2D 3B 4A 5B 6C 7D 8C 9B 10A 11D 12A II. tự luận Câu 1. a)4 b 13 10 a 40 b 13 10 a b 39 b 13 Do39 b 13 10 a b 13 b) ab 43;73 Câu 2. a) Ma mà a là số nguyên âm nên M luôn dương b) xy 0, 0hoặc xy 2, 2 Câu 3. a) Lập luận chứng tỏ được OA OB b) Lập luận chứng tỏ OM ON nên M nằm giữa hai điểm O và N AB c) MN .Vì AB có độ dài không đổi nên MN có độ dài không đổi. 2 Câu 4. B 15
2. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Môn: Toán 6 Năm học 2018-2019 aa32 21 Câu 1. (2 điểm) Cho biểu thức A a32 2 a 2 a 1 a) Rút gọn biểu thức b) Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được ở câu a là một phân số tố giản Câu 2. (1 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho abc n2 1và cba n 2 2 Câu 3. a. (1 điểm) Tìm n để n2 2006 là một số chính phương b. (1 điểm) Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 2006 là số nguyên tố hay hợp số. an a Câu 4. a) Cho a,,* b n . Hãy so sánh và bn b 1011 1 10 10 1 b) Cho AB ; . So sánh A và B. 1012 1 10 11 1 Câu 5. Cho 10 số tự nhiên bất kỳ: a1, a 2 , , a 10 .Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc một tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy đều chia hết cho 10. Câu 6. (1 điểm) Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kỳ 2 đường thẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng.
3. ĐÁP ÁN Câu 1. 2 a3 2 a 2 1 a 11 a a a 2 a 1 Ta có: a)1 A a a3 2 a 2 2 a 1 a 11 a2 a a 2 a 1 b) Gọi d là UCLN của a22 a 1; a a 1 Vì a2 a 1 a a 1 1là số lẻ nên d là số lẻ 22 Mặt khác, 2 a a 1 a a 1 d Nên d 1tức là aa2 1và aa2 1là nguyên tố cùng nhau. Vậy biểu thức A là phân số tối giản. Câu 2. abc 100 a 10 b c n2 1 (1) cba 100 c 10 b c n2 4 n 4(2) Từ (1), (2) 99 a c 4 n 5 44 n 5 99, mặt khác: 100. n2 1 999 4 n 5 99 n 26 Vậy abc 675 Câu 3. a) Giả sử n2 2006 là số chính phương khi đó ta đặt n2 2006 a 2 a a 2 n 2 2006 a n a n 2006(*) Thấy an, khác tính chất chẵn lẻ thì vế trái (*) là số lẻ nên không thỏa mãn (*) Nếu an, cùng tính chẵn hoặc lẻ thì a n 2, a n 2nên vế trái chia hết cho 4 và vế phải không chia hết cho 4. Vậy không tồn tại n để n2 2006 là số chính phương b) n là số nguyên tố nên n 3và không chia hết cho 3. Vậy n2 chia cho 3 dư 1 do đó n2 2006 3 m 1 2006 3 m 2007 3. m 669 3 Vậy n2 2006 là hợp số. Câu 4. a) Ta xét 3 trường hợp a a n a Th1: 11 ab b b n b a an ab Th2: 1 a b a m b n , mà có phần thừa so với 1 là b bn bn
4. a ab a b a b a n a có phần thừa so với 1 là ,vì nên b b b n b b n b a Th3: 1 a b a n b n b an ab a b b a a n a Khi đó có phần bù tới 1 là ,vì nên bn b b b n b n b 1011 1 b) Cho A 1012 1 11 a a n a 10 1 11 1011 10 rõ ràng A 1nên theo câu a, 1 A b b n b 1012 1 11 1012 10 10 1011 1010 10 1 10 10 1 Do đó A 1012 1010. 1011 1 10 11 1 Câu 5. Lập dãy số Đặt Ba11 B2 a 1 a 2 B a a a 3 1 2 3 B10 a 1 a 2 a 10 Nếu tồn tại Bii 1,2,3 10 nào đó chia hết cho 10 thì bài toán được chứng minh Nếu không tồn tại Bi nào chia hết cho 10 ta làm như sau: Ta đem chia cho 10 sẽ được 10 số dư (các số dư 1,2,3, ,9). Theo nguyên tắc Dirichle, phải có ít nhất 2 số dư bằng nhau. Các số BBmn chia hết cho 10 mn (đpcm) Câu 6. Mỗi đường thẳng cắt 2005đường thẳng còn lại tạo nên 2005giao điểm. Mà có 2006 đường thẳng nên có: 2005.2006giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần nên số giao điểm thực tế là: 2005.2006 :2 2011015giao điểm.
5. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN 6 NĂM HỌC 2019-2020 Câu 1. (2đ) Thay (*) bằng các số thích hợp: a) 510*;61*16chia hết cho 3 b) 261*chia hết cho 2 và chia 3 dư 1 Câu 2. (1,5 điểm) Tính tổng S 1.2 2.3 3.4 99.100 Câu 3. (3,5 điểm) Trên con đường đi qua 3 địa điểm ABCB,,( nằm giữa A và C), có hai người đi xe máy là Hùng và Dũng. Hùng xuất phát từ A, Dũng xuất phát từ B. Họ cùng khởi hành lúc 8 giờ để cùng đến C vào lúc 11 giờ cùng ngày. Ninh đi xe đạp từ C về phía A, gặp Dũng lúc 9 giờ và gặp Hùng lúc 9 giờ 24 phút. Biết quãng đường 1 AB dài 30km, vận tốc của Ninh bằng vận tốc của Hùng. Tính quãng đường BC. 4 Câu 4. (2 điểm) Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác nhau đặt tên theo thứ tự từ A đến B là AAAA1, 2 , 3 , , 2004 . Từ điểm M không nằm trên đoạn thẳng AB ta nối M với các điểm ; B. Tính số tam giác tạo thành. Câu 5. (1 điểm) 8 Tích của hai phân số là .Thêm 4 đơn vị vào phân số thứ nhất thì tích mới 15 56 là . Tìm hai phân số đó. 15
6. ĐÁP ÁN Câu 1. a) Để 510*;61*16chia hết cho 3 thì 5 1 *chia hết cho 3, từ đó tìm được * 0,3,6,9 b) Để 261*chia hết cho 2 và chia cho 3 dư 1 thì *chẵn và 2 6 1 *chia 3 dư 1, từ đó tìm được *4 Câu 2. S 1.2 2.3 3.4 99.100 3S 1.2 2.3 3.4 99.100 .3 1.2.3 2.3.3 3.4.3 99.100.3 1.2.3 2.3. 4 1 3.4. 5 2 99.100. 101 98 1.2.3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 98.99.100 99.100.101 S 99.11.101:3 33.100.101 Câu 3. Thời gian đi từ A đến C của Hùng là: 11 8 3(giờ) Thời gian đi từ B đến C của Dũng là: 11 8 3(giờ) Quãng đường AB là 30km do đó cứ 1 giờ khoảng cách của Hùng và Dũng bớt đi 10km. Vì vậy lúc 9 giờ Hùng còn cách Dũng là 20km, lúc đó Ninh gặp Dũng nên Ninh cũng cách Hùng 20km. Đến 9 giờ 24 phút, Ninh gặp Hùng do đó tổng vận tốc của Ninh và Hùng là: 24 20: 50 km / h 60 1 Do vận tốc của Ninh bằng vận tốc của Hùng nên vận tốc của Hùng là: 4 50: 1 4 .4 40 km / h Từ đó suy ra quãng đường BC là: 40.3 30 90(km ) Câu 4. Trên đoạn thẳng AB có các điểm A; AAAA1, 2 , 3 , , 2004 ; B do đó, tổng số điểm trên AB là 2006 điểm suy ra có 2006 đoạn thẳng nối từ M đến các điểm đó. Mỗi đoạn thẳng (ví dụ MA) có thể kết hợp với 2005 đoạn thẳng còn lại và các đoạn thẳng tương ứng trên AB để tạo thành 2005 tam giác. Do đó 2006 đoạn thẳng sẽ tạo thành 2005.2006 4022030 tam giác(nhưng lưu ý là MA kết hợp với MA1 để được 1 tam giác thì cũng kết hợp với MA được tam giác và hai tam giác này chỉ là 1) Do đó số tam giác thực có là: 4022030:2 2011015
7. Câu 5. 8 Tích của hai phân số là .Thêm 4 đơn vị vào phân số thứ nhất thì tích mới 15 56 8 48 là đây chính là 4 lần phân số thứ hai. Suy ra phân số thứ hai là: 15 15 15 48 12 4 8 4 2 :4 . Từ đó phân số thứ nhất là: : 15 15 5 15 5 3
8. ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học 2018-2019 Môn Toán 6 Bài 1. (3 điểm) a) Cho A 9999931999 555557 1997 . Chứng minh rằng A chia hết cho 5 1 1 1 1 1 7 b) Chứng tỏ rằng 41 42 43 79 80 12 Bài 2. (2,5 điểm) Tổng số trang của 8 quyển vở loại 1, 9 quyển vở loại 2 và 5 quyển vở loại 3 2 là 1980 trang. Số trang của một quyển vở loại 2 chỉ bằng số trang của 1 quyển 3 vở loại 1. Số tang của 4 quyển vở loại 3 bằng số trang của 3 quyển vở loại 2. Tính số tran của mỗi quyển vở mỗi loại. Bài 3. (2 điểm) Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 1 2 3 n aaa Bài 4. (2,5 điểm) a) Cho 6 tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ ? Vì sao ? b) Vậy với n tia chung gốc.Có bao nhiêu góc trong hình vẽ
9. ĐÁP ÁN Bài 1. a) Để chứng minh A 5 ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của từng số hạng. 499 Ta có: 31999 3 4 .3 3 81 499 .27 nên 31999 có tận cùng là 7 499 71997 7 4 .7 2401 499 .7 7 1997 tận cùng là 7 Vậy A có tận cùng là 0 nên A 5 1 1 b) Ta thấy đến có 40 phân số 41 80 1 1 1 1 1 1 Vậy 41 42 43 78 79 80 1 1 1 1 1 1 1 1 (1) 41 42 59 60 61 62 79 80 1 1 1 1 1 1 Vì và (2) 41 42 60 61 62 80 Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 60 60 60 60 80 80 80 80 20 20 1 1 7 (3) 60 80 3 4 12 1 1 1 1 1 1 7 Từ 1 , 2 , 3 41 42 43 78 79 80 12 Bài 2. 2 Vì số trang của mỗi quyển vở loại 2 bằng số trang của 1 quyển vở loại 1 3 Nên số trang của 3 quyển vở loại 2 bằng số trang của 2 quyển loại 1 Mà số trang của 4 quyển vở loại 3 bằng 3 quyển vở loại 2 Nên số trang của 2 quyển vở loại 1 bằng số trang 4 quyển vở loại 3 Do đó số trang 8 quyển vở loại 1: 4.8:2 16 (quyển loại 3) Số trang của 9 quyển loại 2 bằng: 9.4:3 12 (quyển loại 3) Vậy 1980 trang chính là số trang của 16 12 5 33(quyển loại 3) Suy ra:Số trang 1 quyển vở loại 3: 1980:33 60(trang) 60.4 Số trang 1 quyển vở loại 2: 80(trang) 3
10. 80.3 Số trang 1 quyển vở loại 1: 120(trang) 2 Bài 3. Từ 1; 2; ;n có n số hạng nn.( 1) Suy ra 1 2 n 2 Mà theo bài ta có: 1 2 3 n aaa nn 1 Suy ra aaa a.111 a .3.37 n n 1 2.3.37. a 2 Vì tích nn 1 chia hết cho số nguyên tố 37 nên n hoặc n 1chia hết cho 37 nn 1 n 37 Vì số có 3 chữ số nên n 1 74 2 n 1 37 37.38 Với n 37thì 703(ktm ) 2 36.37 Với n 1 37 666( tm ) 2 Vậy na 36, 6 1 2 3 36 666 Bài 4. a) Vì mỗi tia với một tia còn lại tạo thành 1 góc. Xét 1 tia, tia đó cùng với 5 tia còn lai tạo thành 5 góc. Làm như vậy với 6 tia ta được 5.6 góc. Nhưng mỗi 5.6 góc đã được tính 2 lần , do đó số góc là 15 (góc) 2 nn 1 b) Từ câu a suy ra tổng quát. Với n tia chung gốc có góc. 2
11. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Môn Toán 6 Năm học 2018-2019 Bài 1. (3 điểm) 1.5.6 2.10 12 4.20.24 9.45.54 a) Tính nhanh: A 1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45 b) Chứng minh: Với k *ta luôn có: k k 1 k 2 k 1 k k 1 3 k k 1 Áp dụng tính tổng: S 1.2 2.3 3.4 n n 1 Bài 2. (3 điểm). a) Chứng minh rằng: nếu ab cd eg 11thì abcdeg 11 b) Cho A 2 22 2 3 2 60 . Chứng minh A 3,7,15 1 1 1 1 Bài 3. (2 điểm) Chứng minh 1 2342 2 2n 2 Bài 4. (2đ) a) Cho đoạn thẳng AB 8. cm Điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho BC 4 cm. Tính độ dài đoạn thẳng AC b) Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Tính số giao điểm của chúng
12. ĐÁP ÁN Bài 1. 1.5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.541.5.6. 1 2.2.2 4.4.4 9.9.9 1.5.6 a)2 1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45 1.3.5. 1 2.2.2 4.4.4 9.9.9 1.3.5 b) Biến đổi: kkk 1 2 kkk 1 1 kk 1 k 2 k 1 3 kk 1 Áp dụng tính: 3. 1.2 1.2.3 0.1.2 3. 2.3 2.3.4 1.2.3 3. 3.4 3.4.5 2.3.4 3n n 1 n n 1 n 2 n 1 n n 1 Cộng lại ta có: n n 12 n 3S n n 1 n 2 S 3 Bài 2. a) Tách như sau : abcdeg 10000 ab 100 cd eg 9999 ab 99 cd ab cd ed Do 9999 11,99 11 9999ab 99 cd 11 Mà ab cd eg 11 abc deg 11 b) Biến đổi: A 2 22 2 3 2 4 2 59 2 60 2 1 2 23 . 1 2 2 59 . 1 2 3. 2 23 2 59 3 A 2 223 2 2 456 2 2 2 585960 2 2 2. 1 2 22 2 4 . 1 2 2 2 2 58 . 1 2 2 2 7. 2 24 2 58 7
13. A 2 2234 2 2 2 5678 2 2 2 2 57585960 2 2 2 2. 1 2 22 2 3 2 5 . 1 2 2 2 2 3 2 57 . 1 2 2 2 2 3 15. 2 25 2 57 15 Bài 3. 1 1 1 1 Ta có: n2 n. n 1 n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 Áp dụng : 1 ; ; ; 22 2 3 2 2 3n 2 n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 2342 2 2nn 2 Bài 4. a) Xét hai trường hợp: *Th1: C thuộc tia đối của tia BA Hai tia BA, BC là hai tia đối nhau Bnằm giữa A và C AC AB BC 12 cm *Th2: C thuộc tia BA C nằm giữa A và B (vì BA > BC) AC BC BA AC AB BC 4 cm b) - Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng còn lại nên tạo ra 100 giao điểm - Có 101 đường thẳng nên có: 101.100 10100 giao điểm - Do mỗi giao điểm được tính 2 lần nên số giao điểm: 10100:2 5050gdiem.
14. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THCS Năm học 2019-2020 Môn Toán 6 Câu 1. Thực hiện phép tính bằng cách hợp lý: 636363.37 373737.63 1) A 1 2 3 2017 12 12 12 4 4 4 12 4 6 124242423 2)B 1 .19 37 53 : 17 19 2006 . 1 3 3 5 5 5 41 35 237373735 3 37 53 17 19 2006 Câu 2. Tìm các cặp số ab, sao cho 4ab 5 45 Câu 3. Cho A 31 3 2 3 3 3 2006 a) Thu gọn A b) Tìm x để 2A 3 3x Câu 4. 20162016 1 20162015 1 So sánh: A và B 20162017 1 20162016 1 2 Câu 5. Một học sinh đọc quyển sách trong ba ngày. Ngày thứ nhất đọc được số 5 3 trang sách; ngày thứ 2 đọc được số trang còn lại; ngày thứ ba đọc được 80% số 5 trang sách còn lại và 3 trang cuối cùng. Hỏi cuốn sách có bao nhiêu trang ?
15. ĐÁP ÁN Câu 1. 636363.37 373737.63 63. 10101.37 37. 10101.63 1)A 0 1 2 3 2017 1 2 3 2017 12 12 12 4 4 4 12 4 6 124242423 2)B 1 .19 37 53 : 17 19 2006 . 1 3 3 5 5 5 41 35 237373735 3 37 53 17 19 2006 1 1 1 1 1 1 12. 1 4. 1 47 19 37 53 17 19 2006 41.3.1010101 . :. 41 1 1 1 1 1 1 47.5.1010101 3. 1 5. 1 19 37 53 17 19 2006 47 5 41.3 . 4. . 3 41 4 47.3 Câu 2. b 0 9 a 9 a 0 b 5 14 a 9 a 4 Câu 3. a) A 31 3 2 3 3 3 2006 3 A 3 2 3 3 3 4 3 2007 332007 3AAA 32007 3 2 332007 b) Ta có: 2. 33 x 32007 333 x 3 2007 3 x x 2007 2 Câu 4. 2015 20162016 1 2016 2016 1 2015 2016. 2016 1 ABAB 20162017 1 2016 2017 1 2015 2016 20162016 1 Câu 5.
16. Gọi x là số trang sách, x 2 Ngày 1 đọc được x trang 5 23 Số trang còn lại: x x x (trang) 55 3 3 9 Ngày 2 đọc được: xx. (trang) 5 5 25 3 9 6 Số trang còn lại là: x x xtrang 5 25 25 6 24x Ngày thứ ba đọc được: x.80% 30 30 25 125 2 9 24 Hay: x x x 30 x x 625(trang) 5 25 125
17. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 6 CẤP TRƯỜNG Môn Toán 6 Câu 1. 27 4500 135 550.2 a) Tính tổng S 2 4 6 14 16 18 20062006 1 20062005 1 b) So sánh A và B 20072007 1 20062006 1 Câu 2. a) Chứng minh rằng: C 2 22 2 3 2 99 2 100 chia hết cho 31 b) Tính tổng C. Tìm x để 2221x C Câu 3. Một số chia cho 4 dư 3, chia cho 17 dư 9, chia cho 19 dư 13. Hỏi số đó chia cho 1292 dư bao nhiêu. Câu 4. Trong đợt thi đua, lớp 6A có 42 bạn được từ 1 đến 10 điểm trở lên, 39 bạn được 2 điểm 10 trở lên, 14 bạn được từ 3 điểm 10 trở lên,5 bạn được 4 điểm 10, không có ai được trên 4 điểm 10. Tính xem trong đợt thi đua lớp 6A được bao nhiêu điểm 10 ? Câu 5. Cho 25 điểm trong đó không có 3 điểm thẳng hàng. Cứ qua 2 điểm ta vẽ 1 đường thẳng. Hỏi tất cả có bao nhiêu đường thẳng ? Nếu thay 25 điểm bằng n điểm thì số đường thẳng là bao nhiêu ?
18. ĐÁP ÁN Câu 1. 270.450 270.550 270. 450 550 aS) 3000 2 18 .9 90 2 a a a n b) Ta có nếu 1* n b b b n 20062006 1 2006 2006 1 2005 2006 2006 2006 A 20062007 1 2006 2007 2005 1 2006 2007 2006 2005 2006. 2006 1 20062005 1 B 2006. 20062006 1 20062006 1 Vậy AB Câu 2. aC) 2 22 2 3 2 99 2 100 2. 1 2 22346 2 2 2 . 1 2 2 234 2 2 2 96 . 1 2 2 234 2 2 31. 2 26 2 96 31 b) C 2 22 2 3 2 99 2 100 2 C 2 2 2 3 2 99 2 100 2 101 C 2 C C 2101 2 2 101 2 2x 1 2 x 1 101 x 51 Câu 3. Gọi số cần tìm A A 4 q1 3 17 q 2 9 19 q 3 13 A 25 4 q 7 17 q 2 19 q 2 1 2 3 A 25 4,17,19 A 25 1292 k A 1292 k 25 1292 k 1 1267 Nên khi chia A cho 1292 ta được dư 1267.
19. Câu 4. Tổng số điểm 10 của lớp 6A là: 42 39 .1 39 14 .2 14 5 .3 5.4 100 (điểm 10) Câu 5. 24.25 nn 1 Có 300đường thẳng. Với n điểm có đường thẳng. 2 2
20. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học 2018-2019 Môn Toán 6 Bài 1. Tính các giá trị của biểu thức: aA) 1 2 3 4 100 1 3 3 4 4 4 43 4 1 3 7 53 bB) 1 . : 17 19 2003 1 3 3 5 5 5 5 35 3 7 53 17 19 2003 1 1 1 1 1 cC) 1.2 2.3 3.4 4.5 99.100 Bài 2. So sánh các biểu thức: a) 3200 và 2300 121212 2 404 10 b) A với B 171717 17 1717 17 Bài 3. Cho 1 số có 4 chữ số *26*. Điền các chữ số thích hợp vào dấu (*) để được số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 4 số 2;3;5;9. Bài 4. Tìm số tự nhiên n sao cho : 1! 2! 3! n !là số chính phương. Bài 5. Hai xe ô tô khởi hành từ hai địa điểm A, B đi ngược chiều nhau. Xe thứ nhất khởi hành từ A lúc 7 giờ. Xe thứ hai khởi hành từ B lúc 7 giờ 10 phút. Biết rằng để đi cả quãng đường AB. Xe thứ nhất cần 2 giờ, xe thứ hai cần 3 giờ. Hỏi sau khi đi 2 xe gặp nhau lúc mấy giờ Bài 6. Cho góc xOy có số đo bằng 1200 .Điểm A nằm trong góc xOy sao cho: AOy 750 .Điểm B nằm ngoài góc xOy mà BOx 1350 .Hỏi ba điểm A, O, B có thẳng hàng không ? Vì sao ?
21. ĐÁP ÁN Câu 1. a) Tổng S 1 2 3 100có 100 số hạng S 1 100 2 99 3 98 50 51 có 50 cặp 50.10 5050 1 3 3 4 4 4 43 4 1 3 7 53 A 1 . : 17 19 2003 1 3 3 5 5 5 5 35 3 7 53 17 19 2003 b) 1 1 1 41 6 417 19 2003 6 4 4 A . : . : 6 5 1 1 1 1 5 1 5 5. 1 17 19 2003 1 1 1 1 1 99 c) C 1 2 2 3 99 100 100 Câu 2. 100 100 a) Ta có: 3200 3 2 9 100 8 100 2 3 2 300 3 200 2 300 121212 2 404 12 2 4 10 b) AAB 171717 17 1717 17 17 17 17 Câu 3. Để số có 4 chữ số *26*, 4 chữ số khác nhau mà chia hết cho 2,3,5,9 thì tận cùng là 0 (vì chia hết cho 2 và 5) Để *260 9thì * 2 6 0 9 * 1 Do đó số đã cho là 1260. Câu 4. Xét : n 1 1! 12
22. n 2 1! 2! 3 n 3 1! 2! 3! 9 32 n 4 1! 2! 3! 4! 33 Với n 4thì nn! 1.2.3 là một số chẵn. Nên 1! 2! n ! 33cộng với một số chẵn bằng số có chữ số tận cùng là 3 nên khong là chính phương Vậy n=1, n=3 thì thỏa đề Câu 5. 1 1 giờ xe thứ nhất đi được quãng đường AB 2 1 1 giờ xe thứ hai đi được quãng đường AB 3 1 1 1 1 Sau 10phút giờ:xe thứ nhất đi được: . quãng đường AB 6 6 2 12 1 11 Quãng đường còn lại: 1 (quãng đường AB) 12 12 11 5 11 Thời gian 2 xe cùng đi quãng đường còn lại: : giờ 1giờ 6 phút 12 6 10 Hai xe gặp nhau lúc: 7 giờ 10 phút + 1 giờ 6 phút 8giờ 16 phút Câu 6. Học sinh tự vẽ hình Vì xOy 12000 , AOy 75 , điểm A nằm trong góc xOy nên tia OA nằm giữa hai tia Ox, Oy Ta có: xOA xOy AOy 1200 75 0 45 0 Điểm B có thể ở 2 vị trí: B và B’
23. +Tại B thì tia OB nằm ngoài hai tia Ox, OAnên BOx xOA 1350 45 0 180 0 .Do đó BOA BOx xOA 1800 3 điểm A, O, B thẳng hàng. +Còn tại B’ thì: xOB' 1350 180 0 AOB ' xOB ' xOA 135 0 45 0 90 0 .Nên ba điểm A, O, B'không thẳng hàng.
24. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 6 Bài 1. (5 điểm) Tìm x : a)5x 125 b )32 x 81 c )5 2 x 3 2.5 2 5 2 .3 Bài 2. (1,5 đ) Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng: aa 5 5 5 Bài 3. (1,5đ) Cho a là một số nguyên. Chứng minh rằng: a) Nếu a dương thì số liền sau cũng dương b) Nếu âm thì số liền trước cũng âm c) Có thể kết luận gì về số liền trước của một số dương và số liền sau của một số âm ? Bài 4. (2đ) Cho 31 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kỳ là một số dương. Chứng minh rằng tổng của 31 số đó là dương. Bài 5. (2đ) Cho các số tự nhiên từ 1 đến 11 được viết theo thứ tự tùy ý sau đó đem cộng với mỗi số với số chỉ thứ tự của nó ta được một tổng. Chứng minh rằng trong các tổng nhận được, bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10 Bài 6. (1,5 đ) Cho tia Ox.Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là Ox. Vẽ hai tia Oy, Oz sao cho xOy, xOz bằng 1200 .Chứng minh rằng: a) xOy xOz yOz b) Tia đối của mỗi tia Ox,, Oy Oz là phân số của góc hợp bởi hai tia còn lại.
25. ĐÁP ÁN Bài 1. ax)5xx 125 5 53 3 b)32xx 81 3 2 3 4 2 x 4 x 2 c)52xx 3 2.5 2 5 2 .3 5 2 3 5 2 .3 2.5 2 52x 3 5 3 2xx 3 3 3 Bài 2. Vì a là một số tự nhiên với mọi a nên từ a 5ta a 0,1,2,3,4 Nghĩa là a 0;1; 1;2; 2;3; 3;4; 4. Biểu diễn trên trục số các số này đều lớn hơn -5 và nhỏ hơn 5 do đó 55 a Bài 3. Nếu a dương thì số liền sau cũng dương Ta có: a) Nếu a dương thì a 0số liền sau a lớn hơn a nên cũng lớn hơn 0 nên là số dương b) Nếu a âm thì số liền trước cũng âm Ta có: Nếu a âm thì a< 0 số liền trước a nhỏ hơn a nên cũng nhỏ hơn 0 nên là số âm. Bài 4. Trong các số đã cho có ít nhất 1 số dương vì nếu trái lại tất cả đều là số âm thì tổng của 5 số bất kỳ trong chúng sẽ là số âm trái với giả thiết Tách riêng số dương đó còn 30 số chia là 6 nhóm. Theo đề bài tổng các số của mỗi nhóm đều là số dương nên tổng của 6 nhóm đều là số dương và do đó tổng của 31 số đã cho đều là số dương. Bài 5. Vì có 11 tổng mà chỉ có thể có 10 chữ số tận cùng đều là các số từ 0,1,2 9 nên luôn tìm được hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau nên hiệu của chúng là một số nguyên có tận cùng là 0 và số là chia hết cho 10. Bài 6. Ta có x' Oy 6000 , x ' Oz 60 và tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz nên yOz yOx' x ' Oz 1200 . Vậy xOy yOz zOx Do tia Ox'nằm giữa hai tia Oy, Oz và x'' Oy x Oz nên Ox'là tia phân giác của góc hợp bởi hai tia Oy, Oz Tương tự tia Oy'(tia đối của tia Oy) và tia Oz '(tia đối của tia Oz) là phân giác của xOz, xOy
26. PHÒNG GD ĐT THANH OAI ĐỀ THI OLYMPIC TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA MÔN TOÁN 6 Đề chính thức Năm học 2018-2019 Bài 1. a) Chứng tỏ 43xy chia hết cho 7 khi 25xy chia hết cho 7 b) Tìm các số tự nhiên có bốn chữ số sao cho khi chia nó cho 130,cho 150 được các số dư lần lượt là 88 và 108 Bài 2. 7777 77 7777 77 123498766 a) Tính A . 8585 85 16362 162 987661234 24 18 b) Tìm phân số lớn nhất, khi chia các phân số ; cho nó ta đều được các 7 11 thương là số nguyên. Bài 3. 1 1 1 1 91 Cho biết S .Chứng minh rằng S 101 102 130 4 330 Bài 4. Tổng bình phương của ba số tự nhiên là 2596.Biết rằng tỉ số giữa số thứ 2 5 nhất và số thứ hai là ;giữa số thứ hai và số thứ ba là .Tìm ba số đó . 3 6 Bài 5. Cho tia Oz nằm trong góc vuông xOy.Vẽ tia Ot sao cho Ox là tia phân giác của tOz.Vẽ tia Om sao cho tia Oy là phân giác của zOm a) Chứng minh rằng tia Om và tia Ot là hai tia đối nhau b) Gọi Ox'là tia đối của tia Ox,biết rằng x' Om 300 .Tính tOz c) Vẽ thêm 2014 tia phân biệt gốc O (không trùng với các tia Ox,,,,' Oz Oy Om Ox và Ot).Hỏi trong hình vẽ có tất cả bao nhiêu góc ?
27. ĐÁP ÁN Bài 1. a) Ta có: 4x 37 y 44 x 3 y 716 x 12714 y x 7 y 2 x 57 y Ma`14 x 7 y 7 2 x 5 y 7 Vậy 4xy 3 7 khi 2xy 5 7 b) Gọi số phải tìm là a Ta có: a 42chia hết cho 130;150 a 42 BC 130;150 a 1908;3858;5808;7758;9708 Bài 2. a) Ta có: 7777 7777 :101 77 8585 8585:101 85 7777 7777 :101 77 16362 16362:101 162 75 75 77 77 123498766 A .0 85 85 162 162 987661234 x3 1 3 x 1 2 x 1 b) Từ xy, 9yy 18 9 18 18 Suy ra : y 2 x 1 54 y U (54) 1;2;3;6;9;18;27;54 Vì 54là số chẵn mà 21x là số lẻ nên y là ước chẵn của 54 Vậy y 2;6;18;54 Lập bảng suy ra xy; 14;2 ; 5;6 ; 2;18 ; 1;54  Bài 3. 91 *Chứng minh S 330
28. 1 1 1 1 1 1 1 S 101 102 110 111 120 121 130 1 1 1 1 1 1 1 S 100 100 100 110 110 120 120 1 1 1 1 1 1 181 182 91 S .10 .10 .10 100 110 120 10 11 12 660 660 330 91 S (1) 330 1 *Chứng minh S 4 1 1 1 1 1 1 S 110 110 120 120 130 130 1 1 1 1 1 1 S .10 .10 .10 110 120 130 11 12 13 431 429 1 SS (2) 1716 1716 4 1 91 Từ (1) và (2) S 4 330 Bài 4. Gọi abc,,là ba số tự nhiên phải tìm ab25 Theo đề bài ta có: ;1 và abc2 2 2 2596 (2) bc36 26 Từ (1) suy ra : a b; c b , thay vào (2) ta có: 35 4 36 b2 b 2 b 2 2596 b 2 900 9 25 b 30; a 20; c 36 Vậy 3 số phải tìm là 30;20;36 Bài 5.
29. y m z x' O x t a) Tia Oz nằm trong góc xOy nên: xOz zOy xOy 900 1 1 Theo giả thiết ta có các tia phân giác nên xOz tOz ; zOy zOm 2 2 11 Từ đó suy ra : tOz zOm 9000 tOz zOm 180 22 tOz; zOmlà hai góc kề nhau b) Chứng minh tOz mOx' 300 (cùng kề bù với mOx) tOx xOz 3000 tOz 60 c) Giả sử vẽ thêm n tia phân biệt gốc O không trùng với các tia Ox,,, Oy Oz Ot Om, Ox '.Tất cả trong hình vẽ có n 6 tia phân biệt Cứ 1 tia trong n 6 tia đó tạo với n 5thi còn lai thành góc Có n 6 tia tạo thành nn 56 góc, nhưng như thế mỗi góc được tính 2 lần nn 56 Vậy có tất cả là góc 2 Thay 2014ta được số góc là: 2014 6 2014 5 :2 2039190(góc)
30. ĐÈ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn Toán 6 Năm học 2018-2019 Bài 1. Thực hiện so sánh: 20132013 131313 aA) với B 20142014 141414 bC) 20139 2013 10 với D 201410 Bài 2. B a) Cho AB 1 4 42 4 3 4 99 ; 4 100 . Chứng minh rằng A 3 b) Tìm các số nguyên xy, sao cho x 1 xy 1 3 c) Tìm các số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 15;18;25thì được các số dư lần lượt là 5;8;15 Bài 3. Thực hiện tính: 1 1 1 aA) 1 1 2 1 2 3 . 1 2 2013 2 3 2013 1 3 2 4 3 5 4 6 2011 2013 2012 2014 2013.2014 bB) 1.3 2.4 3.5 4.6 2011.2013 2012.2014 2013.2014 Bài 4. Một xe tải khởi hành từ A lúc 7h và đến B lúc 12h. Một xe con khởi hành từ B lúc 7 giờ rưỡi và đến A lúc 11 giờ rưỡi a) Hỏi hai xe gặp nhau lúc mấy giờ b) Biết vận tốc xe con hơn xe tải là 10km / h . Tính quãng đường AB Bài 5. Cho đoạn thẳng AB.Điểm O thuộc tia đối của tia AB.Gọi MN, theo thứ tự là trung điểm của OA, OB a) Trong 3 điểm OMN,,điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ? Vì sao ? b) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O M 32 102011 10 2012 10 2013 10 2014 Bài 6 Cho a) Chứng minh rằng: M 8 b) Tìm số dư khi chia M cho 24
31. ĐÁP ÁN Bài 1. 2013.10001 2013 13.10101 13 a); A B 2014.10001 2014 14.10101 14 2013 1 13 1 1 AB 1 ;1 1 2014 2014 14 14 Do11 A B A B bC) 201399 . 1 2013 2013 .2014 D 20149 .2014 2013 2014 CD Bài 2. nn 1 1 2 3 n 2 1 2.3 1 3.4 1 2013.2014 3 4 2014 A 1 . . . 1 2 2 3 2 2013 2 2 2 2 1 1 2 3 2014 1 A . 1 2 3 2014 2 2 2 2 2 2 11 A . 1 2 3 2014 1014552 22 1 1 1 1 1 1 1 1 B 2 1.3 3.5 2011.2013 2.4 4.6 2012.2014 2013 2014 11111111 1 11 1 ; ; ; 1.3 2 1 3 3.5 2 3 5 2011.2013 2 2011 2013 Thay : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; ; ; 2.4 2 2 4 4.6 2 4 6 2012.2014 2 2012 2014 111 1111 11 11 B 1 3 3 5 2011 2013 2 4 2012 2014 2013 2014 3 B 2 Bài 3.
32. 1 Mỗi ngày cả hai đội làm được (đoạn đường) 6 12 Phần đoạn đường còn lại là: 1 2. (đoạn đường) 63 2 thời gian để đội thứ hai làm xong đoạn đường là 12 ngày nên thời gian để họ làm 3 2 xong đoạn đường là: 12: 18(ngày) 3 1 Mỗi ngày đội thứ hai làm được (đoạn đường) nên mỗi ngày đội thứ nhất làm 18 1 1 1 được: (đoạn đường) 6 18 9 2 21 Thời gian để đội thứ nhất làm xong đoạn đường là: :6 (ngày) 3 39 Bài 4. a) Chọn quãng đường AB làm đơn vị quy ước Thời gian xe tải đi từ A đến B là 5h, xe con đi từ B đến A là 4h 1 1 9 Trong 1h hai xe gần nhau được: AB 5 4 20 1 Xe con khởi hành sau xe tải: 7h 30 ph 7 h 30 ph h 2 1 1 9 Khi xe con khởi hành thì hai xe cách nhau: 1. (AB) 5 2 10 99 Hai xe gặp nhau sau: :2 h 10 20 Hai xe gặp nhau lúc: 7h 30 ph 2 h 9 h 30 ph 1 1 1 b) 10km chính là: ()AB 4 5 20 1 Vậy quãng đường AB dài: 10: 200(km ) 20 Bài 5.
33. B O M AN O thuộc tia đối của tia AB Onằm giữa hai điểm A và B OA OB OA OB OM ; ON 22 OA OB OM ON M nằm giữa hai diểm O và N OB OA AB Từ a) được MO MN ON MN ON OM MN 2 2 2 Độ dài đoạn thẳng AB cố định nên MN cố định không phụ thuộc vào O. Bài 6. M 32 102011 1 10 10 2 10 3 32 10 2011 .1111 Có 103 8 10 2011 8 32 10 2011 .1111 8 A 1111000 0032có tổng các chữ số là 9 nên chia hết cho 3 Do 3,8 1. Vậy M chia 24 dư 0
34. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 6 Câu 1. 1 1 1 1 1 1 a) Tính: A 10 40 88 154 238 340 b) So sánh 200410 2004 9 và 200510 Câu 2. a) Tìm các số nguyên x sao cho 4xx 3 2 5ab 7 29 b) Tìm các số tự nhiên ab, thỏa mãn và ab,1 6ab 5 28 Câu 3. Số học sinh của một trường học xếp hàng, mỗi hàng có 20 người hoặc 25 người hoặc 30 người đều thừa 15 người. Nếu xếp mỗi hàng 41 người đều vừa đủ. Tính số học sinh của trường đó, biết số học sinh của trường chưa đến 1000. Câu 4. Cho 2 góc xOy, xOz , Om là tia phân giác của yOz . Tính xOm trong các trường hợp sau: a) Góc xOy 10000 ; xOz 60 b) xOy ; xOz   Câu 5. Chứng minh rằng An 10n 18 1chia hết cho 27 (n là số tự nhiên)
35. ĐÁP ÁN Câu 1. 3 3 3 3 aA)3 2.5 5.8 8.11 17.20 1 1 1 1 1 1 2 5 5 8 17 20 1 1 9 3 A 2 20 20 20 b)200410 2004 9 2004 9 . 2004 1 2004 9 .2005 200510 2005 9 .2005 Do20049 .2005 2005 9 .2005 2004 10 2004 9 2005 10 Câu 2. a) Ta có: 4x 3 4 x 8 5 4 x 2 5 Vì 4 x 2 x 2 4 x 3 x 2 5 x 2 x 2 U (5) 1; 5 x 1; 3;3;7 b) 140a 196 b 174 a 145 b 2ab 3 * Vì ab, 1; 2,3 1nên (*) xảy ra khi a 3 Và b chia hết cho 2, a 3 p , b 2 q p , q Thay vào (*) ta có: 66p q p q Vì a, b 1 3 p ;2 q 1 p q p q 1 Vậy ab 3; 2 Câu 3. Gọi số học sinh của trường là x Theo đề ta suy ra x 15chia hết cho 20;25;30 x 15 BC 20,25,30 BCNN(20,25,30) 300 và xx 1000 315;615;915 Vì xx41 615. Vậy số học sinh của trường là 615 em
36. Câu 4. m y y z m x O z x O a) Xét 2 trường hợp: - Nếu hai tia Oy, Oz thuộc cùng nửa mặt phẳng có bờ Ox thì: yOz 1000 60 0 40 0 zOm 20 0 , xOm 80 0 - Nếu hai tia Oy, Oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ Ox thì: yOz 1000 60 0 160 0 zOm 80 0 , xOm 20 0 b) Xét 2 trường hợp - Nếu hai tia Oy, Oz thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là Ox thì ta tính  được: xOm 2 - Nếu hai tia Oy, Oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ Ox thì  xOm neu  1800 2  xOm 18000 neu  180 2 Câu 5. A 10n 1 9 n 27 n 9999 9 9 n 27 n 9. 1111 111 n 27 n nchu so91 nchu so Vì n là tổng các chữ số của 111 1 nên 1111 11 n chia hết cho 3 nchu so1 nchu so1 Vậy A 27