Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng môn Toán - Khối A, B, D - Năm học 2009 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng môn Toán - Khối A, B, D - Năm học 2009 (Có đáp án)

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2009 Môn: TOÁN; Khối: A,B,D ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài:180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x 3 −(2 m −1) x 2 +(2 − m ) x + 2 (1), với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2. 2. Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) có hoành độ dương. Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình (1 + 2sin x ) 2 cos x = 1 +sin x + cos x . 2. Giải bất phương trình x +1 + 2 x − 2 ≤ 5 x + 1 ( x∈\). Câu III (1,0 điểm) 1 Tính tích phân I =∫ ( e −2x + x )e x dx. 0 Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có AB = a , SA = a 2. Gọi M , N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và CD. Chứng minh rằng đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP. Tính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP. Câu V (1,0 điểm) Cho a và b là hai số thực thỏa mãn 0 ln a − ln b . PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có C( −1; −2), đường trung tuyến kẻ từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình là 5 x + y −9 = 0 và x + 3 y − 5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và B. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các mặt phẳng ( P1 ) : x + 2 y + 3 z + 4 = 0 và ( P2 ) : 3 x + 2 y − z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua điểm A(1; 1; 1), vuông góc với hai mặt phẳng ( P1 ) và ( P2 ). Câu VII.a (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn (1 + i ) 2 (2 − i ) z = 8 + i +(1 + 2 i) z . Tìm phần thực và phần ảo của z. B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho các đường thẳng Δ1 : x − 2 y − 3 = 0 và Δ2 : x + y + 1 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng Δ1 sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ2 1 bằng ⋅ 2 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A( 1;1; 0), B(0; 2;1) và trọng tâm G (0; 2; −1). Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm C và vuông góc với mặt phẳng ( ABC). Câu VII.b (1,0 điểm) 4 z − 3 − 7 i Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức: = z − 2. i z − i Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:. ; Số báo danh:
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2009 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN; Khối: A,B,D (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm I 1. (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (2,0 điểm) Khi m = 2, hàm số (1) trở thành y = x 3 − 3 x 2 + 2. • Tập xác định: \. • Chiều biến thiên: 0,25 - Ta có y ' = 3 x 2 − 6 x ; y ' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2. - Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞ ;0) và (2; +∞). - Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2). • Cực trị: - Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = y(0) = 2. - Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = y(2) = −2. 0,25 • Các giới hạn tại vô cực: lim y =−∞ và lim y =+∞ . x →−∞ x →+∞ • Bảng biến thiên: x −∞ 0 2 +∞ y' + 0 − 0 + 0,25 y 2 +∞ −∞ −2 • Đồ thị y 2 2 0,25 O x −2 2. (1,0 điểm) Tìm các giá trị của m Ta có y ' = 3 x 2 − 2 ( 2 m − 1 ) x + 2 − m. m thỏa mãn yêu cầu của bài toán khi và chỉ khi phương trình y ' = 0 có hai 0,25 nghiệm dương phân biệt ⎧ ⎪Δ ' = (2 m − 1) 2 − 3(2 − m ) > 0 ⎪ ⎪ 2(2 m −1) ⇔ ⎨ S = > 0 0,25 ⎪ 3 ⎪ 2 − m P = > 0 ⎩⎪ 3 5 ⇔ < m <2. 0,50 4 Trang 1/4
3. Câu Đáp án Điểm II 1. (1,0 điểm) Giải phương trình (2,0 điểm) Phương trình đã cho tương đương với (sinxx+− 1)(2sin 2 1)= 0 0,50 π • sinx =− 1 ⇔=−+xkk2π () ∈] . 0,25 2 1 π 5π • sin 2x = ⇔=x +kπ hoặc xkk=+π () ∈] . 0,25 2 12 12 2. (1,0 điểm) Giải bất phương trình Điều kiện: x ≥ 2. 0,25 Bất phương trình đã cho tương đương với (1)(2)2xx+−≤ 0,25 ⇔−23 ≤x ≤ . 0,25 Kết hợp điều kiện ta được tập hợp nghiệm của bất phương trình đã cho là [2; 3] . 0,25 11 1 1 III −−1 1 I =+=−+=−+exxxx dx xe dx e xe dx1. xex dx 0,25 (1,0 điểm) ∫∫0 ∫e ∫ 00 0 0 = = x = = x Đặt ux và dv e dx, ta có du dx và ve. 0,25 111 =−11 +x −xx =− +− I 11xe e dx e e 0,25 ee00∫ 0 1 =−⋅2 0,25 e IV Ta có MNCD// và SP⊥ CD, suy ra MNSP⊥ . 0,50 (1,0 điểm) Gọi O là tâm của đáy ABCD. S a 6 Ta có SO=−= SA22 OA ⋅ 2 11 M VVV== AMNP48 ABSP S. ABCD N 0,50 11 a3 6 == SO AB2 ⋅ A 83 48 D O P B C V lnab ln Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với t ∀∈ Xét hàm số ft() , t (0;1). Ta có ft'( ) 0,t (0; 1). 0,50 t2 +1 (1)t22+ Do đó f ()t đồng biến trên khoảng (0; 1). lnab ln Mà 01<<<ab , nên f ()afb< (). Vậy <⋅ 0,25 ab22++11 Trang 2/4
4. Câu Đáp án Điểm VI.a 1. (1,0 điểm) Tìm tọa độ các đỉnh A và B (2,0 điểm) Đường thẳng AC qua C và vuông góc với đường thẳng xy+−=350. 0,25 Do đó AC:3 x−+= y 1 0. ⎧590xy+−= Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ ⎨ ⇒ A(1; 4). 0,25 ⎩310xy−+= Điểm B thuộc đường thẳng xy+−=350 và trung điểm của BC thuộc đường ⎧xy+−=350 ⎪ 0,25 thẳng 5xy+−=90. Tọa độ điểm B thỏa mãn hệ −− ⎨ ⎛⎞xy12+−= ⎪59⎜⎟ 0 ⎩ ⎝⎠22 ⇒ B(5; 0). 0,25 2. (1,0 điểm) Viết phương trình mặt phẳng (P) JJG • = (P1) có vectơ pháp tuyến n1 (1; 2; 3). JJG 0,25 • =− (P2) có vectơ pháp tuyến n2 (3; 2; 1). JJG • (P) có vectơ pháp tuyến n =−(4; 5; 2). 0,25 (P) qua A(1; 1; 1) nên ():4Pxyz−+−= 5 2 1 0. 0,50 Hệ thức đã cho tương đương với (1 +=+2iz ) 8 i 0,25 VII.a ⇔=−zi23. 0,50 (1,0 điểm) Do đó z có phần thực là 2 và phần ảo là −3. 0,25 VI.b 1. (1,0 điểm) Tìm tọa độ điểm M ∈Δ + (2,0 điểm) M 1 ⇒ Mt(2 3; t ). 0,25 +++ Δ Δ=|2tt 3 1|⋅ Khoảng cách từ M đến 2 là dM(,2 ) 0,25 2 ⎡t =−1 Δ=1 ⇔ ⎢ dM(,2 ) 5 0,25 2 ⎢t =− ⋅ ⎣ 3 ⎛⎞15 Vậy M (1;− 1) hoặc M ⎜⎟−−;. 0,25 ⎝⎠33 2. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng Δ ⎧1+ x = 0 ⎪ 3 ⎪ ⎪ 3+ y Tọa độ điểm C thỏa mãn hệ ⎨ = 2 ⇒ C(1;3;4).−− 0,25 ⎪ 3 + ⎪ 1 z =− ⎪ 1 ⎩ 3 JJJG JJJG Ta có AB =−(1;1;1),AG =− (1;1;1). − 0,25 JJG Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến n = (1; 1; 0). 0,25 ⎧x =−1 +t ⎪ Phương trình tham số của đường thẳng Δ là ⎨y =+3 t 0,25 ⎪ ⎩z =−4. Trang 3/4
5. Câu Đáp án Điểm ≠ VII.b Điều kiện: z i. 2 −+ ++= 0,25 (1,0 điểm) Phương trình đã cho tương đương với zizi(4 3 ) 1 7 0. Δ=34 −ii = (2). − 2 0,50 Nghiệm của phương trình đã cho là zi=+12 và zi=+3. 0,25 Hết Trang 4/4