Đề thi tuyển sinh Đại học môn Toán - Khối D - Năm học 2014 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Đại học môn Toán - Khối D - Năm học 2014 (Có đáp án)

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ —AÿO TAœO —E¿ THI TUYE≈N SINH —AœI HOœC NA M 2014 −−−−−−−−−− Mo‚n: TOAŸN; Kho·i D Ề CHÍNH THƯ—C Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề −−−−−−−−−−−−−−−−−−− Ca‚u 1 (2,0 điểm). Cho ham soŸ y = x3 3x 2 (1). − − a) KhaÛo saỊt sĨÁ bieŸn thie⁄n va veÌ Èoÿ thÍ (C) cuÛa ham soŸ (1). b) T‰m toÁa Èo‹ Èie›m M thuo‹c (C) sao cho tieŸp tuyeŸn cuÛa (C) taÁi M coỊ he‹ soŸ goỊc ba‡ng 9. Ca‚u 2 (1,0 điểm). Cho soŸ phĨỊc z thoÛa maÌn Èieÿu kie‹n (3z z)(1 + i) 5z = 8i 1. TÂnh mo⁄Èun cuÛa z. − − − π 4 Ca‚u 3 (1,0 điểm). TÂnh tÂch pha⁄n I = (x + 1) sin 2x dx. Z 0 Ca‚u 4 (1,0 điểm). a) GiaÛi phĨÏng tr‰nh log 2(x 1) 2 log4(3x 2) + 2 = 0. − − − b) Cho mo‹t Èa giaỊc Èeÿu n Èfinh, n N va n 3. T‰m n bieŸt ra‡ng Èa giaỊc ÈaÌ cho coỊ 27 ÈĨÏng cheỊo. ∈ ≥ Ca‚u 5 (1,0 điểm). Trong kho⁄ng gian vÏỊi he‹ toÁa Èo‹ Oxyz, cho ma„t phaÚng (P ) : 6x + 3y 2z 1 = 0 va ma„t caÿu (S) : x2 +y2 +z2 6x 4y 2z 11 = 0. ChĨỊng minh ma„t phaÚng− (P−) ca·t ma„t caÿu (S) theo giao tuyeŸn la− mo‹t− ÈĨÏng− tron− (C). T‰m toÁa Èo‹ ta⁄m cuÛa (C). Ca‚u 6 (1,0 điểm). Cho h‰nh choỊp S.ABC coỊ ÈaỊy ABC la tam giaỊc vuo⁄ng ca⁄n taÁi A, ma„t be⁄n SBC la tam giaỊc Èeÿu caÁnh a va ma„t phaÚng (SBC) vuo⁄ng goỊc vÏỊi ma„t ÈaỊy. TÂnh theo a the› tÂch cuÛa khoŸi choỊp S.ABC va khoaÛng caỊch giĨÌa hai ÈĨÏng thaÚng SA,BC. Ca‚u 7 (1,0 điểm). Trong ma„t phaÚng vÏỊi he‹ toÁa Èo‹ Oxy, cho tam giaỊc ABC coỊ cha⁄n ÈĨÏng pha⁄n giaỊc trong cuÛa goỊc A la Èie›m D(1; 1). ĨÏng thaÚng AB coỊ phĨÏng tr‰nh − 3x + 2y 9 = 0, tieŸp tuyeŸn taÁi A cuÛa ÈĨÏng tron ngoaÁi tieŸp tam giaỊc ABC coỊ phĨÏng tr‰nh x +− 2y 7 = 0. VieŸt phĨÏng tr‰nh ÈĨÏng thaÚng BC. − Ca‚u 8 (1,0 điểm). GiaÛi baŸt phĨÏng tr‰nh (x + 1)√x +2+(x + 6)√x + 7 x2 + 7x + 12. ≥ Ca‚u 9 (1,0 điểm). Cho hai soŸ thĨÁc x, y thoÛa maÌn caỊc Èieÿu kie‹n 1 x 2; 1 y 2. T‰m giaỊ trÍ nhoÛ nhaŸt cuÛa bie›u thĨỊc ≤ ≤ ≤ ≤ x + 2y y + 2x 1 P = + + . x2 + 3y + 5 y2 + 3x + 5 4(x + y 1) − He·t −−−−−− −−−−−− Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. HoÁ va te⁄n th sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; SoŸ baỊo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ —AÿO TAœO —AŸP AŸN - THANG —IE≈M —E¿ THI TUYE≈N SINH —AœI HOœC NA M 2014 −−−−−−−−−− Ề CHÍNH THƯ—C Mo‚n: TOAŸN; Kho·i D ( aỊp aỊn - Thang Èie›m goÿm 03 trang) −−−−−−−−−−−−−−−−−−− Câu —a˘p a˘n —ieÂm 1 a) (1,0 Èie›m) (2,0È) Ta‹p xaỊc ÈÍnh D = R. • SĨÁ bieŸn thie⁄n: 0,25 • 0 2 0 - Chieÿu bieŸn thie⁄n: y =3x 3; y =0 x = 1. − ⇔ ± CaỊc khoaÛng Èoÿng bieŸn: ( ; 1) va (1;+ ); khoaÛng nghÍch bieŸn: ( 1;1). −∞ − ∞ − - CĨÁc trÍ: Ham soŸ ÈaÁt cĨÁc ÈaÁi taÁi x = 1, y C =0; ÈaÁt cĨÁc tie›u taÁi x =1, yCT = 4. 0,25 − − - GiÏỊi haÁn taÁi vo⁄ cĨÁc: lim y = ; lim y = + . x→−∞ −∞ x→+∞ ∞ - BaÛng bieŸn thie⁄n: x 1 1 + 0 −∞ − ∞ y + 0 0 + 0,25 − 1 0PP 1 + y  PP  ∞  PPq  4 −∞ − oÿ thÍ: • ¡ y 1 £ ¥ ¦ 1 ¢ − O x 0,25 § 2 − 4 ¤ − b) (1,0 Èie›m) M (C) M(a; a3 3a 2). 0,25 ∈ ⇒ − − He‹ soŸ goỊc cuÛa tieŸp tuyeŸn taÁi M ba‡ng 9 y 0(a)=9 0,25 ⇔ 3a2 3=9 a = 2. 0,25 ⇔ − ⇔ ± ToÁa Èo‹ Èie›m M thoÛa maÌn ye⁄u caÿu bai toaỊn la M(2; 0) hoa„c M( 2; 4). 0,25 − − 2 a„t z = a + bi (a, b R). TĨ giaÛ thieŸt ta ÈĨÏÁc [3(a + bi) (a bi)](1 + i) 5(a + bi)=8i 1 0,25 ∈ − − − − (1,0È) 3a +4b =1 0,25 ⇔  2a b =8 − a =3 0,25 ⇔  b = 2. − Do ÈoỊ mo⁄Èun cuÛa z la 32 +( 2)2 = √13. 0,25 − p 1
3. Câu —a˘p a˘n —ieÂm π 4 1 3 I = (x +1)sin2xdx. a„t u = x +1 va dv = sin2xdx, suy ra du = dx va v = cos2x. 0,25 (1,0È) 0 − 2 R π π 4 1 4 1 Ta coỊ I = (x + 1)cos2x + cos2xdx 0,25 − 2 0 2 R0 π π 1 4 1 4 = (x +1)cos2x + sin2x 0,25 − 2 0 4 0 3 = . 0,25 4 x 1 4 a) ieÿu kie‹n: x > 1. PhĨÏng tr‰nh ÈaÌ cho tĨÏng ÈĨÏng vÏỊi log 2 − = 2 0,25 3x 2 − (1,0È) − x 1 1 − = x =2. ⇔ 3x 2 4 ⇔ 0,25 − oŸi chieŸu Èieÿu kie‹n, ta ÈĨÏÁc nghie‹m cuÛa phĨÏng tr‰nh ÈaÌ cho la x =2. 2 n(n 3) b) SoŸ ÈĨÏng cheỊo cuÛa Èa giaỊc Èeÿu n Èfinh la Cn n = − . 0,25 − 2 n(n 3) n =9 TĨ giaÛ thieŸt ta coỊ phĨÏng tr‰nh − = 27 2 ⇔ n = 6. 0,25 h − Do n N va n 3 ne⁄n ta ÈĨÏÁc giaỊ trÍ n caÿn t‰m la n =9. ∈ ≥ 5 Ma„t caÿu (S) coỊ ta⁄m I(3;2;1) va baỊn kÂnh R =5. 0,25 (1,0È) 6.3+3.2 2.1 1 Ta coỊ khoaÛng caỊch tĨ I ÈeŸn (P ) la d(I, (P )) = | − − | =3 <R. 62 +32 +( 2)2 0,25 − Do ÈoỊ (P ) ca·t (S) theo giao tuyeŸn la mo‹t ÈĨÏngp tron (C). Ta⁄m cuÛa C la h‰nh chieŸu vuo⁄ng goỊc H cuÛa I tre⁄n P . ĨÏng thaÚng qua I va vuo⁄ng goỊc ( ) ( ) ∆ 0,25 x 3 y 2 z 1 vÏỊi (P ) coỊ phĨÏng tr‰nh la − = − = − . Do H ∆ ne⁄n H(3+6t;2+3t;1 2t). 6 3 2 ∈ − − 3 3 5 13 Ta coỊ H (P ), suy ra 6(3+6t)+3(2+3t) 2(1 2t) 1=0 t = . Do ÈoỊ H ; ; . 0,25 ∈ − − − ⇔ −7 7 7 7  6 BC a GoÁi H la trung Èie›m cuÛa BC, suy ra AH = = , (1,0È) S 2 2 √3 a 1 a2 0,25 SH (ABC), SH = va S∆ABC = BC.AH = . ⊥ 2 2 4 1 √3 a3 K The› tÂch khoŸi choỊp la VS.ABC = .SH.S∆ABC = . 0,25 3 24 © B ¨ A GoÁi K la h‰nh chieŸu vuo⁄ng goỊc cuÛa H tre⁄n SA, suy ra HK SA. Ta coỊ BC (SAH) ne⁄n BC HK. ⊥ ⊥ ⊥ 0,25 H Do ÈoỊ HK la ÈĨÏng vuo⁄ng goỊc chung cuÛa BC va SA. C 1 1 1 16 Ta coỊ = + = . HK2 SH2 AH2 3a2 0,25 √3 a Do ÈoỊ d(BC,SA) = HK = . 4 2
4. Câu —a˘p a˘n —ieÂm 7 3x +2y 9=0 ToÁa Èo‹ Èie›m A thoÛa maÌn he‹ phĨÏng tr‰nh − (1,0È)  x +2y 7=0. 0,25 A −  Suy ra A(1; 3). GoÁi ∆ la tieŸp tuyeŸn taÁi A cuÛa ÈĨÏng tron ngoaÁi tieŸp tam giaỊc ABC va E la giao Èie›m cuÛa ∆ vÏỊi ÈĨÏng thaÚng BC (do AD     kho⁄ng vuo⁄ng goỊc vÏỊi ∆ ne⁄n E luo⁄n toÿn taÁi va ta coỊ the› giaÛ sĨÛ 0,25 E B D C EB 0. Suy ra ≥ − ≥ x +1 x +6 x +2 x +2 + x 4 = + √x +2+2 √x +7+3 − − √x +2+2 − 2  x +6 x +6 1 0,25 < 0. √x +7+3 − 2  − √x +2+2 Do ÈoỊ (1) x 2. ⇔ ≤ oŸi chieŸu Èieÿu kie‹n, ta ÈĨÏÁc nghie‹m cuÛa baŸt phĨÏng tr‰nh ÈaÌ cho la: 2 x 2. 0,25 − ≤ ≤ 9 Do 1 x 2 ne⁄n (x 1)(x 2) 0, nghỴa la x2 +2 3x. TĨÏng tĨÁ, y2 +2 3y. ≤ ≤ − − ≤ ≤ ≤ (1,0È) x +2y y +2x 1 x + y 1 0,25 Suy ra P + + = + . ≥ 3x +3y +3 3y +3x +3 4(x + y 1) x + y +1 4(x + y 1) − − t 1 a„t t = x + y, suy ra 2 t 4. XeỊt f(t) = + , vÏỊi 2 t 4. ≤ ≤ t +1 4(t 1) ≤ ≤ − 0,25 1 1 Ta coỊ f 0(t) = . Suy ra f 0(t)=0 t =3. (t +1)2 − 4(t 1)2 ⇔ − 11 7 53 7 7 Ma f(2) = ; f(3) = ; f(4) = ne⁄n f(t) f(3) = . Do ÈoỊ P . 0,25 12 8 60 ≥ 8 ≥ 8 7 7 Khi x =1, y =2 th‰ P = . Va‹y giaỊ trÍ nhoÛ nhaŸt cuÛa P la . 0,25 8 8 He·t −−−−−− −−−−−− 3