Đề thi tuyển sinh Đại học môn Toán - Khối B - Năm học 2014 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Đại học môn Toán - Khối B - Năm học 2014 (Có đáp án)

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ —AÿO TAœO —E¿ THI TUYE≈N SINH —AœI HOœC NA M 2014 −−−−−−−−−− Mo‚n: TOAŸN; Kho·i B Ề CHÍNH THƯ—C Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề −−−−−−−−−−−−−−−−−−− Ca‚u 1 (2,0 điểm). Cho ham soŸ y = x3 3mx + 1 (1), vÏỊi m la tham soŸ thĨÁc. − a) KhaÛo saỊt sĨÁ bieŸn thie⁄n va veÌ Èoÿ thÍ cuÛa ham soŸ (1) khi m = 1. b) Cho Èie›m A(2; 3). T‰m m Èe› Èoÿ thÍ ham soŸ (1) coỊ hai Èie›m cĨÁc trÍ B va C sao cho tam giaỊc ABC ca⁄n taÁi A. Ca‚u 2 (1,0 điểm). GiaÛi phĨÏng tr‰nh √2(sin x 2 cos x) = 2 sin 2x. 2 − − x2 + 3x + 1 Ca‚u 3 (1,0 điểm). TÂnh tÂch pha⁄n I = dx. x2 + x Z1 Ca‚u 4 (1,0 điểm). a) Cho soŸ phĨỊc z thoÛa maÌn Èieÿu kie‹n 2z + 3(1 i) z = 1 9i. TÂnh mo⁄Èun cuÛa z. − − b) e› kie›m tra chaŸt lĨÏÁng saÛn pha›m tĨ mo‹t co⁄ng ty sĨÌa, ngĨÏi ta ÈaÌ gĨÛi ÈeŸn bo‹ pha‹n kie›m nghie‹m 5 ho‹p sĨÌa cam, 4 ho‹p sĨÌa da⁄u va 3 ho‹p sĨÌa nho. Bo‹ pha‹n kie›m nghie‹m choÁn nga¤u nhie⁄n 3 ho‹p sĨÌa Èe› pha⁄n tÂch ma¤u. TÂnh xaỊc suaŸt Èe› 3 ho‹p sĨÌa ÈĨÏÁc choÁn coỊ caÛ 3 loaÁi. Ca‚u 5 (1,0 điểm). Trong kho⁄ng gian vÏỊi he‹ toÁa Èo‹ Oxyz, cho Èie›m A(1; 0; 1) va ÈĨÏng x 1 y + 1 z − thaÚng d : − = = . VieŸt phĨÏng tr‰nh ma„t phaÚng qua A va vuo⁄ng goỊc vÏỊi d. 2 2 1 T‰m toÁa Èo‹ h‰nh chieŸu vuo⁄ng− goỊc cuÛa A tre⁄n d. Ca‚u 6 (1,0 điểm). Cho la‚ng truÁ ABC.A0B0C0 coỊ ÈaỊy la tam giaỊc Èeÿu caÁnh a. H‰nh chieŸu vuo⁄ng goỊc cuÛa A0 tre⁄n ma„t phaÚng (ABC) la trung Èie›m cuÛa caÁnh AB, goỊc giĨÌa ÈĨÏng thaÚng A0C va ma„t ÈaỊy ba‡ng 60 ◦. TÂnh theo a the› tÂch cuÛa khoŸi la‚ng truÁ ABC.A 0B0C0 va khoaÛng caỊch tĨ Èie›m B ÈeŸn ma„t phaÚng (ACC 0A0). Ca‚u 7 (1,0 điểm). Trong ma„t phaÚng vÏỊi he‹ toÁa Èo‹ Oxy, cho h‰nh b‰nh hanh ABCD. ie›m M( 3; 0) la trung Èie›m cuÛa caÁnh AB, Èie›m H(0; 1) la h‰nh chieŸu vuo⁄ng goỊc cuÛa B tre⁄n − 4 − AD va Èie›m G ; 3 la troÁng ta⁄m cuÛa tam giaỊc BCD. T‰m toÁa Èo‹ caỊc Èie›m B va D. 3 Ca‚u 8 (1,0 điểm). GiaÛi he‹ phĨÏng tr‰nh (1 y)√x y + x =2+(x y 1)√y − − − − R 2 (x, y ). (2y 3x + 6y +1=2√x 2y √4x 5y 3 ∈ − − − − − Ca‚u 9 (1,0 điểm). Cho caỊc soŸ thĨÁc a,b,c kho⁄ng a⁄m va thoÛa maÌn Èieÿu kie‹n (a + b)c > 0. T‰m giaỊ trÍ nhoÛ nhaŸt cuÛa bie›u thĨỊc a b c P = + + . b + c a + c 2(a + b) r r He·t −−−−−− −−−−−− Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. HoÁ va te⁄n th sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; SoŸ baỊo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ —AÿO TAœO —AŸP AŸN - THANG —IE≈M —E¿ THI TUYE≈N SINH —AœI HOœC NA M 2014 −−−−−−−−−− Ề CHÍNH THƯ—C Mo‚n: TOAŸN; Kho·i B ( aỊp aỊn - Thang Èie›m goÿm 03 trang) −−−−−−−−−−−−−−−−−−− Câu —a˘p a˘n —ieÂm 1 a) (1,0 Èie›m) (2,0È) VÏỊi m =1, ham soŸ trÏÛ thanh: y = x 3 3x +1. − Ta‹p xaỊc ÈÍnh: D = R. • SĨÁ bieŸn thie⁄n: 0,25 • 0 2 0 - Chieÿu bieŸn thie⁄n: y =3x 3; y =0 x = 1. − ⇔ ± CaỊc khoaÛng Èoÿng bieŸn: ( ; 1) va (1;+ ); khoaÛng nghÍch bieŸn: ( 1;1). −∞ − ∞ − - CĨÁc trÍ: Ham soŸ ÈaÁt cĨÁc ÈaÁi taÁi x = 1, y C =3; ÈaÁt cĨÁc tie›u taÁi x =1, yCT = 1. 0,25 − − - GiÏỊi haÁn taÁi vo⁄ cĨÁc: lim y = ; lim y = + . x→−∞ −∞ x→+∞ ∞ - BaÛng bieŸn thie⁄n: x 1 1 + 0 −∞ − ∞ y + 0 0 + − 0,25 1 3PP 1 + y  PP  ∞  PPq  1 −∞ − oÿ thÍ: • ¡ y ¢ 3 0,25 § 1 1 £ ¦ ¥ 1 O x − 1 ¤ − b) (1,0 Èie›m) Ta coỊ y0 =3x2 3m. − 0 oÿ thÍ ham soŸ (1) coỊ hai Èie›m cĨÁc trÍ phĨÏng tr‰nh y =0 coỊ hai nghie‹m pha⁄n bie‹t m > 0. 0,25 ⇔ ⇔ ToÁa Èo‹ caỊc Èie›m cĨÁc trÍ B, C la B( √m;2√m3 + 1), C(√m; 2√m3 + 1). − − 0,25 Suy ra −−→BC = (2√m; 4√m3). − GoÁi I la trung Èie›m cuÛa BC, suy ra I(0; 1). Ta coỊ tam giaỊc ABC ca⁄n taÁi A −→AI.−−→BC =0 0,25 ⇔ 1 4√m +8√m3 =0 m =0 hoa„c m = . ⇔ − ⇔ 2 1 0,25 oŸi chieŸu Èieÿu kie‹n toÿn taÁi cĨÁc trÍ, ta ÈĨÏÁc giaỊ trÍ m caÿn t‰m la m = . 2 1
3. Câu —a˘p a˘n —ieÂm 2 Phương trình ÈaÌ cho tĨÏng ÈĨÏng vÏỊi 2sin x cos x 2√2cos x + √2sin x 2=0. 0,25 − − (1,0È) (sin x √2)(2 cos x + √2)=0. 0,25 ⇔ − sin x √2=0: phĨÏng tr‰nh vo⁄ nghie‹m. 0,25 • − 3π 2cos x + √2=0 x = + k2π (k Z). • ⇔ ± 4 ∈ 0,25 3π Nghie‹m cuÛa phĨÏng tr‰nh ÈaÌ cho la: x = + k2π (k Z). ± 4 ∈ 2 2 2 3 x2 +3x +1 2x +1 Ta coỊ I = dx = dx + dx. 0,25 (1,0È) x2 + x x2 + x Z1 Z1 Z1 2 dx =1. 0,25 • Z1 2 2x +1 2 dx = ln x2 + x 0,25 • x2 + x | | 1 Z1 = ln3. Do ÈoỊ I =1+ln3. 0,25 5a 3b =1 4 a) a„t z = a + bi (a, b R). TĨ giaÛ thieŸt suy ra − 0,25 ∈ 3a + b =9 (1,0È)  a =2,b =3. Do ÈoỊ mo⁄Èun cuÛa z ba‡ng √13. 0,25 ⇔ 3 b) SoŸ phaÿn tĨÛ cuÛa kho⁄ng gian ma¤u la: C 12 = 220. 0,25 60 3 SoŸ caỊch choÁn 3 ho‹p sĨÌa coỊ ÈuÛ 3 loaÁi la 5.4.3=60. Do ÈoỊ xaỊc suaŸt caÿn tÂnh la p = = . 0,25 220 11 5 VectÏ chfi phĨÏng cuÛa d la u = (2;2; 1). 0,25 −→ − (1,0È) Ma„t phaÚng (P ) caÿn vieŸt phĨÏng tr‰nh la ma„t phaÚng qua A va nha‹n −→u lam vectÏ phaỊp tuyeŸn, ne⁄n (P ):2(x 1)+2(y 0) (z +1)=0, nghỴa la (P ):2x +2y z 3=0. 0,25 − − − − − GoÁi H la h‰nh chieŸu vuo⁄ng goỊc cuÛa A tre⁄n d, suy ra H(1+2t; 1+2t; t). 0,25 − − 1 5 1 1 Ta coỊ H (P ), suy ra 2(1+2t)+2( 1+2t) ( t) 3=0 t = . Do ÈoỊ H ; ; . 0,25 ∈ − − − − ⇔ 3 3 −3 −3   6 GoÁi H la trung Èie›m cuÛa AB, suy ra A0H (ABC) ⊥ 0,25 (1,0È) \0 ◦ 0 \0 3a A0 0 va A CH = 60 . Do ÈoỊ A H = CH. tan A CH = .  C 2 0 3 B 0 3√3 a The› tÂch khoŸi la‚ng truÁ la V ABC.A0B0C0 = A H.S∆ABC = . 0,25 8 GoÁi I la h‰nh chieŸu vuo⁄ng goỊc cuÛa H tre⁄n AC; K la h‰nh chieŸu 0,25 vuo⁄ng goỊc cuÛa H tre⁄n A0I. Suy ra HK = d(H, (ACC 0A0)). K √3 a Ta coỊ HI = AH. sin IAH[ = ,   ¨ I 4 C 1 1 1 52 3√13 a 0,25 A © = + = , suy ra HK = . H HK2 HI2 HA02 9a2 26 B 3√13 a Do ÈoỊ d(B, (ACC0A0))=2d(H, (ACC0A0))=2HK = . 13 2
4. Câu —a˘p a˘n —ieÂm 7 GoÁi E va F laÿn lĨÏÁt la giao Èie›m cuÛa HM va HG 0,25  B   (1,0È) E  F C vÏỊi BC. Suy ra −−→HM = −−→ME va −−→HG =2−−→GF , Do ÈoỊ E( 6;1) va F (2; 5). G  − M I ĨÏng thaÚng BC Èi qua E va nha‹n −−→EF lam vectÏ   chfi phĨÏng, ne⁄n BC : x 2y +8=0. ĨÏng thaÚng − BH Èi qua H va nha‹n −−→EF lam vectÏ phaỊp tuyeŸn, ne⁄n 0,25    BH:2x + y +1=0. ToÁa Èo‹ Èie›m B thoÛa maÌn he‹ A H D x 2y +8=0 phĨÏng tr‰nh − Suy ra B( 2;3). 2x + y +1=0. −  Do M la trung Èie›m cuÛa AB ne⁄n A( 4; 3). − − 3 0,25 GoÁi I la giao Èie›m cuÛa AC va BD, suy ra −→GA =4−→GI. Do ÈoỊ I 0; . 2   Do I la trung Èie›m cuÛa ÈoaÁn BD, ne⁄n D(2; 0). 0,25 y 0 8 (1 y)√x y + x =2+(x y 1)√y (1) ≥ − − − − ieÿu kie‹n: x 2y ( ). (1,0È) 2  ≥ ∗ (2y 3x +6y +1=2√x 2y √4x 5y 3 (2). 4x 5y +3 − − − − −  ≥ 0,25 Ta coỊ (1) (1 y)(√x y 1)+(x y 1)(1 √y)=0  ⇔ − − − − − − 1 1 (1 y)(x y 1) + =0 (3). ⇔ − − − √x y +1 1 + √y  −  1 1 y =1 Do + > 0 ne⁄n (3) √x y +1 1 + √y ⇔ y = x 1. 0,25 − h − VÏỊi y =1, phĨÏng tr‰nh (2) trÏÛ thanh 9 3x =0 x =3. • − ⇔ VÏỊi y = x 1, Èieÿu kie‹n ( ) trÏÛ thanh 1 x 2. PhĨÏng tr‰nh (2) trÏÛ thanh • 2 − ∗2 ≤ ≤ 2x x 3 = √2 x 2(x x 1)+(x 1 √2 x)=0 − − − ⇔ − − − − − 0,25 1 (x2 x 1) 2 + =0 ⇔ − − x 1 + √2 x h − − i 1 √5 x2 x 1=0 x = ± . oŸi chieŸu Èieÿu kie‹n ( ) va keŸt hÏÁp trĨÏng hÏÁp tre⁄n, ta ÈĨÏÁc ⇔ − − ⇔ 2 ∗ 0,25 1 + √5 1 + √5 nghie‹m (x; y) cuÛa he‹ ÈaÌ cho la (3; 1) va ; − . 2 2   a 2a 9 Ta coỊ a + b + c 2 a(b + c). Suy ra . 0,25 ≥ b + c ≥ a + b + c (1,0È) r p b 2b TĨÏng tĨÁ, . a + c ≥ a + b + c r 0,25 2(a + b) c 2(a + b) a + b + c 1 Do ÈoỊ P + = + ≥ a + b + c 2(a + b) a + b + c 2(a + b) − 2 h i 1 3 2 = . 0,25 ≥ − 2 2 3 3 Khi a =0,b = c,b> 0 th‰ P = . Do ÈoỊ giaỊ trÍ nhoÛ nhaŸt cuÛa P la . 0,25 2 2 He·t −−−−−− −−−−−− 3