Đề thi tuyển sinh Đại học môn Toán - Khối A, A1 - Năm học 2014 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Đại học môn Toán - Khối A, A1 - Năm học 2014 (Có đáp án)

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ —AÿO TAœO —E¿ THI TUYE≈N SINH —AœI HOœC NA M 2014 Mo‚n: TOAŸN; Kho·i A va¯ Kho·i A1 −−−−−−−−−− Ề CHÍNH THƯ—C Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề −−−−−−−−−−−−−−−−−−− x + 2 Ca‚u 1 (2,0 điểm). Cho ham soŸ y = (1). x 1 − a) KhaÛo saỊt sĨÁ bieŸn thie⁄n va veÌ Èoÿ thÍ (C) cuÛa ham soŸ (1). b) T‰m toÁa Èo‹ Èie›m M thuo‹c (C) sao cho khoaÛng caỊch tĨ M ÈeŸn ÈĨÏng thaÚng y = x ba‡ng √2. − Ca‚u 2 (1,0 điểm). GiaÛi phĨÏng tr‰nh sin x + 4 cos x = 2+sin2x. Ca‚u 3 (1,0 điểm). TÂnh die‹n tÂch h‰nh phaÚng giÏỊi haÁn bÏÛi ÈĨÏng cong y = x2 x + 3 va ÈĨÏng thaÚng y = 2x + 1. − Ca‚u 4 (1,0 điểm). a) Cho soŸ phĨỊc z thoÛa maÌn Èieÿu kie‹n z +(2+ i) z =3+5i. T‰m phaÿn thĨÁc va phaÿn aÛo cuÛa z. b) TĨ mo‹t ho‹p chĨỊa 16 theÛ ÈĨÏÁc ÈaỊnh soŸ tĨ 1 ÈeŸn 16, choÁn nga¤u nhie⁄n 4 theÛ. TÂnh xaỊc suaŸt Èe› 4 theÛ ÈĨÏÁc choÁn Èeÿu ÈĨÏÁc ÈaỊnh soŸ chaÙn. Ca‚u 5 (1,0 điểm). Trong kho⁄ng gian vÏỊi he‹ toÁa Èo‹ Oxyz, cho ma„t phaÚng (P ) : 2x+y 2z 1 = 0 x 2 y z + 3 − − va ÈĨÏng thaÚng d : − = = . T‰m toÁa Èo‹ giao Èie›m cuÛa d va (P ). VieŸt phĨÏng 1 2 3 tr‰nh ma„t phaÚng chĨỊa d va vuo⁄ng− goỊc vÏỊi (P ). 3a Ca‚u 6 (1,0 điểm). Cho h‰nh choỊp S.ABCD coỊ ÈaỊy ABCD la h‰nh vuo⁄ng caÁnh a, SD = , 2 h‰nh chieŸu vuo⁄ng goỊc cuÛa S tre⁄n ma„t phaÚng (ABCD) la trung Èie›m cuÛa caÁnh AB. TÂnh theo a the› tÂch khoŸi choỊp S.ABCD va khoaÛng caỊch tĨ A ÈeŸn ma„t phaÚng (SBD). Ca‚u 7 (1,0 điểm). Trong ma„t phaÚng vÏỊi he‹ toÁa Èo‹ Oxy, cho h‰nh vuo⁄ng ABCD coỊ Èie›m M la trung Èie›m cuÛa ÈoaÁn AB va N la Èie›m thuo‹c ÈoaÁn AC sao cho AN = 3NC. VieŸt phĨÏng tr‰nh ÈĨÏng thaÚng CD, bieŸt ra‡ng M(1; 2) va N(2; 1). − x√ y y x2 12 + (12 ) = 12 R Ca‚u 8 (1,0 điểm). GiaÛi he‹ phĨÏng tr‰nh 3 − − (x,y ). ( x 8x 1 = 2√y 2 ∈ − − p − Ca‚u 9 (1,0 điểm). Cho x,y,z la caỊc soŸ thĨÁc kho⁄ng a⁄m va thoÛa maÌn Èieÿu kie‹n x2 + y2 + z2 = 2. T‰m giaỊ trÍ lÏỊn nhaŸt cuÛa bie›u thĨỊc x2 y + z 1+ yz P = + . x2 + yz + x + 1 x + y + z + 1 − 9 He·t −−−−−− −−−−−− Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. HoÁ va te⁄n th sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; SoŸ baỊo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ —AÿO TAœO —AŸP AŸN - THANG —IE≈M —E¿ THI TUYE≈N SINH —AœI HOœC NA M 2014 −−−−−−−−−− Ề CHÍNH THƯ—C Mo‚n: TOAŸN; Kho·i A va¯ Kho·i A1 ( aỊp aỊn - Thang Èie›m goÿm 03 trang) −−−−−−−−−−−−−−−−−−− Câu —a˘p a˘n —ieÂm 1 a) (1,0 Èie›m) (2,0È) Ta‹p xaỊc ÈÍnh D = R 1 . • SĨÁ bieŸn thie⁄n: \{ } • 3 - Chieÿu bieŸn thie⁄n: y 0 = ; y0 < 0, x D. 0,25 − (x 1)2 ∀ ∈ Ham soŸ nghÍch bieŸn tre⁄n tĨng− khoaÛng ( ;1) va (1;+ ). −∞ ∞ - GiÏỊi haÁn va tie‹m ca‹n: lim y = lim y =1; tie‹m ca‹n ngang: y =1. x→−∞ x→+∞ 0,25 lim y = ; lim y = + ; tie‹m ca‹n ÈĨỊng: x =1. x→1− −∞ x→1+ ∞ - BaÛng bieŸn thie⁄n: x 1 + 0 −∞ ∞ y − − 1P + P 0,25 PP ∞ PP y PP PP PPq PPq 1 −∞ oÿ thÍ: • y 1 ¥ 0,25 ¡ £ ¢ ¦ 2 O 1 x − 2 ¤ − b) (1,0 Èie›m) a +2 M (C) M a; , a =1. 0,25 ∈ ⇒ a 1 6 −   a +2 a + a 1 KhoaÛng caỊch tĨ M ÈeŸn ÈĨÏng thaÚng y = x la d = − . 0,25 − √2 2 2 a 2a +4=0 d = √2 a +2 =2 a 1 2 − 0,25 ⇔| | | − | ⇔ a +2a =0. a2 2a +4=0: phĨÏng tr‰nh vo⁄h nghie‹m. • − a =0 0,25 a2 +2a =0 Suy ra toÁa Èo‹ Èie›m M caÿn t‰m la: M(0; 2) hoa„c M( 2;0). • ⇔ a = 2. − − h − 1
3. Câu —a˘p a˘n —ieÂm 2 Phương trình ÈaÌ cho tĨÏng ÈĨÏng vÏỊi sin x +4cos x =2+2sin x cos x 0,25 (1,0È) (sin x 2)(2 cos x 1)=0. 0,25 ⇔ − − sin x 2=0: phĨÏng tr‰nh vo⁄ nghie‹m. 0,25 • − π 2cos x 1=0 x = + k2π (k Z). • − ⇔ ± 3 ∈ π 0,25 Nghie‹m cuÛa phĨÏng tr‰nh ÈaÌ cho la: x = + k2π (k Z). ± 3 ∈ 3 PhĨÏng tr‰nh hoanh Èo‹ giao Èie›m cuÛa ÈĨÏng cong y = x 2 x +3 va ÈĨÏng thaÚng (1,0È) x =1 − 0,25 y =2x +1 la x2 x +3=2x +1 − ⇔ x =2. h2 Die‹n tÂch h‰nh phaÚng caÿn t‰m la S = x2 3x +2 dx 0,25 | − | Z1 2 x3 3x2 2 = (x2 3x + 2)dx = +2x 0,25 − 3 − 2 1 Z1   1 = . 0,25 6 3a + b =3 4 a) a„t z = a + bi (a, b R). TĨ giaÛ thieŸt suy ra 0,25 ∈ a b =5 (1,0È)  − a =2,b = 3. Do ÈoỊ soŸ phĨỊc z coỊ phaÿn thĨÁc ba‡ng 2, phaÿn aÛo ba‡ng 3. 0,25 ⇔ − − 4 b) SoŸ phaÿn tĨÛ cuÛa kho⁄ng gian ma¤u la: C 16 = 1820. 0,25 4 SoŸ keŸt quaÛ thua‹n lÏÁi cho bieŸn coŸ “4 theÛ ÈĨÏÁc ÈaỊnh soŸ chaÙn” la: C 8 = 70. 70 1 0,25 XaỊc suaŸt caÿn tÂnh la p = = . 1820 26 5 GoÁi M la giao Èie›m cuÛa d va (P ), suy ra M(2 + t; 2t; 3+3t). 0,25 − − 3 7 3 (1,0È) M (P ) suy ra 2(2 + t)+( 2t) 2( 3+3t) 1=0 t = . Do ÈoỊ M ; 3; . 0,25 ∈ − − − − ⇔ 2 2 − 2   d coỊ vectÏ chfi phĨÏng u = (1; 2;3), (P ) coỊ vectÏ phaỊp tuyeŸn n = (2;1; 2). 0,25 −→ − −→ − Ma„t phaÚng (α) caÿn vieŸt phĨÏng tr‰nh coỊ vectÏ phaỊp tuyeŸn [ −→u, −→n ] = (1;8;5). Ta coỊ A(2; 0; 3) d ne⁄n A (α). Do ÈoỊ (α):(x 2)+8(y 0)+5(z +3)=0, 0,25 − ∈ ∈ − − nghỴa la (α): x +8y +5z +13=0. 6 GoÁi H la trung Èie›m cuÛa AB, suy ra SH (ABCD). ⊥ 0,25 (1,0È) Do ÈoỊ SH HD. Ta coỊ SH = √SD2 DH2 ⊥ − = SD2 (AH2 + AD2) = a. − S 1 a3 p Suy ra VS.ABCD = .SH.SABCD = . 0,25 3 3 GoÁi K la h‰nh chieŸu vuo⁄ng goỊc cuÛa H tre⁄n BD va E la h‰nh chieŸu vuo⁄ng goỊc cuÛa H tre⁄n SK. Ta coỊ BD HK va BD SH, ne⁄n BD (SHK). 0,25 Suy ra⊥ BD HE. Ma⊥ HE SK, ⊥ ⊥ ⊥ do ÈoỊ HE (SBD).  E ⊥ ¨ B © C \ a√2 Ta coỊ HK = HB. sin KBH = . 4 H K HS.HK a Suy ra HE = = . 0,25 √HS2 HK2 3 § + 2a A D Do ÈoỊ d(A, (SBD))=2d(H, (SBD))=2HE = . 3 2
4. Câu —a˘p a˘n —ieÂm 7 Ta coỊ MN = √10. GoÁi a la Èo‹ dai caÁnh cuÛa h‰nh vuo⁄ng ABCD, D   (1,0È) I  C a 3AC 3a√2 a > 0. Ta coỊ AM = va AN = = , 2 4 4  5a2 N ne⁄n MN 2 = AM 2 + AN 2 2AM.AN. cos MAN\ = . 0,25 − 8  5a2 Do ÈoỊ = 10, nghỴa la a =4. 8 GoÁi I(x; y) la trung Èie›m cuÛa CD. Ta coỊ IM = AD =4    BD A M B va IN = = √2, ne⁄n ta coỊ he‹ phĨÏng tr‰nh 0,25 4 2 2 x = 1; y = 2 (x 1) +(y 2) = 16 − − 2 − 2 17 6 (x 2) +(y + 1) =2 ⇔ x = ; y = .  − h 5 −5 VÏỊi x = 1; y = 2 ta coỊ I(1; 2) va −−→IM = (0;4). • − − 0,25 ĨÏng thaÚng CD Èi qua I va coỊ vectÏ phaỊp tuyeŸn la −−→IM, ne⁄n coỊ phĨÏng tr‰nh y +2=0. 17 6 17 6 12 16 VÏỊi x = ; y = ta coỊ I ; va −−→IM = ; . • 5 − 5 5 − 5 − 5 5 0,25 ĨÏng thaÚng CD Èi qua I va coỊ vectÏ phaỊp tuyeŸn la −−→IM , ne⁄n coỊ phĨÏng tr‰nh 3x 4y 15=0. − − 8 x√12 y + y(12 x2)=12 (1) − − ieÿu kie‹n: 2√3 x 2√3; 2 y 12. (1,0È) x3 8x 1=2√y 2 (2). − ≤ ≤ ≤ ≤ ( − − p − x2 +12 y y +12 x2 Ta coỊ x√12 y − va y(12 x2) − 0,25 − ≤ 2 − ≤ 2 2 p x 0 ne⁄n x√12 y + y(12 x ) 12. Do ÈoỊ (1) ≥ 2 − − ≤ ⇔ y = 12 x .  − p Thay vao (2) ta ÈĨÏÁc x3 8x 1=2√10 x2 x3 8x 3+2(1 √10 x2)=0 − 2(−x +3) − ⇔ − − − − (x 3) x2 +3x + 1 + =0 (3). 0,25 ⇔ − 1 + √10 x2  −  2(x + 3) Do x 0 ne⁄n x2 +3x + 1 + > 0. 0,25 ≥ 1 + √10 x2 − Do ÈoỊ (3) x =3. Thay vao he‹ va ÈoŸi chieŸu Èieÿu kie‹n ta ÈĨÏÁc nghie‹m: (x; y)= (3;3). ⇔ 0,25 9 Ta coỊ 0 (x y z)2 = x2 + y2 + z2 2xy 2xz +2yz = 2(1 xy xz + yz), 2 ≤ − − − − − − (1,0È) ne⁄n x + yz + x + 1 = x(x + y + z +1)+(1 xy xz + yz) x(x + y + z + 1). 0,25 x2 x − − ≥ Suy ra . x2 + yz + x +1 ≤ x + y + z +1 Ma„c khaỊc, (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 +2x(y + z)+2yz =2+2yz +2x(y + z) x + y + z (x + y + z)2 0,25 2+2yz +[x2 +(y + z)2]= 4(1+ yz). Do ÈoỊ P . ≤ ≤ x + y + z +1 − 36 a„t t = x + y + z, suy ra t 0 va t2 =(x + y + z)2 =(x2 + y2 + z2)+2xy +2yz +2zx 2 2 2 2 ≥ 2 2 2+(x + y )+(y + z )+(z + x )=6. Do ÈoỊ 0 t √6. ≤ 2 ≤ ≤ t t 0,25 XeỊt f(t) = , vÏỊi 0 t √6. t +1 − 36 ≤ ≤ 2 0 1 t (t 2)(t +4t +9) 0 Ta coỊ f (t) = = − , ne⁄n f (t)=0 t =2. (t +1)2 − 18 − 18(t + 1)2 ⇔ 5 31 √6 5 Ta coỊ f(0)= 0; f(2) = va f(√6) = , ne⁄n f(t) khi 0 t √6. 9 30 − 5 ≤ 9 ≤ ≤ 5 5 5 0,25 Do ÈoỊ P . Khi x = y =1 va z =0 th‰ P = . Do ÈoỊ giaỊ trÍ lÏỊn nhaŸt cuÛa P la . ≤ 9 9 9 He·t −−−−−− −−−−−− 3