Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng môn Toán - Khối A, B, D - Năm học 2008 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng môn Toán - Khối A, B, D - Năm học 2008 (Có đáp án)

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2008 Mụn thi: TOÁN, khối A,B,D ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Cõu I (2 điểm) x Cho hàm số y = . x − 1 1. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị ()C của hàm số đó cho. 2. Tỡm m để đường thẳng d : y = −x + m cắt đồ thị ()C tại hai điểm phõn biệt. Cõu II (2 điểm) 1. Giải phương trỡnh sin 3x − 3 cos3x =2sin 2x. ⎧ x − my = 1 2. Tỡm giỏ trị của tham số m để hệ phương trỡnh ⎨ cú nghiệm (x; y) thỏa món ⎩mx + y = 3 xy 2. Tỡm số hạng khụng chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của ⎜ 2x ⎟ (x 0 ) . ⎝ 5 x ⎠ Cõu V.b. Theo chương trỡnh phõn ban (2 điểm) 2 ( + ) − + + = 1. Giải phương trỡnh log 2 x 1 6log 2 x 1 2 0. 2. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thang, BnAD = AnBC = 90 o , AB = BC =a, AD = 2a, SA vuụng gúc với đỏy và SA =2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Chứng minh rằng BCNM là hỡnh chữ nhật và tớnh thể tớch của khối chúp S.BCNM theo a. Hết Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm. Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh:
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2008 ĐỀ CHÍNH THỨC Mụn: TOÁN, khối A,B,D (Đỏp ỏn - Thang điểm gồm 04 trang) Cõu Nội dung Điểm I 2,00 1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số (1,00 điểm) 1 Ta cú y = 1 + . x −1 • Tập xỏc định: D = \ \{1}. 1 0,25 • Sự biến thiờn: y' =− 0 ⇔ m > 4 hoặc m 4 hoặc m < 0. II 2,00 1 Giải phương trỡnh lượng giỏc (1,00 điểm) 1 3 Phương trỡnh đó cho ⇔ sin 3x − cos3x =sin 2x 2 2 0,50 ⎛ π ⎞ ⇔ sin ⎜3x −⎟ = sin 2x ⎝ 3 ⎠ 1/4
3. ⎡ π 3x−= 2x + k2 π ⎢ 3 π 4π 2π ⇔ ⎢ ⇔ xk2=+π,x = + k (k ∈ Z ). π 3155 ⎢3x−=π−+ 2x k2 π ⎣⎢ 3 0,50 Vậy nghiệm của phương trỡnh đó cho là: π 4π 2π xk2=+π,x = + k (k ∈ Z ). 3155 2 Tỡm m để hệ phương trỡnh cú nghiệm thỏa món xy ()()3m+− 1 3 m 3 hoặc m.<− 3 III 2,00 1 Viết phương trỡnh mặt phẳng (P) (1,00 điểm) G Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u1;1;2=−(). JJG 0,50 =−() Do (P) vuụng gúc với d nờn (P) cú vectơ phỏp tuyến là n1;1;2P . Phương trỡnh mặt phẳng (P) là: 0,50 1.()()() x−− 1 1. y −+ 1 2. z − 3 = 0 ⇔−+xy2z60. −= 2 Tỡm tọa độ điểm M thuộc d sao cho ΔMOA cõn tại đỉnh O (1,00 điểm) +) Md∈ ⇒ Mt;t;12t.()−+ 0,25 +) ΔMOA cõn tại đỉnh O ⇔=OM OA và M, O, A khụng thẳng hàng. 2 5 OM = OA ⇔++tt22() 2t11 + =1 ⇔=t1 hoặc t =− . 0,25 3 = − 5 ⎛⎞55 7 +) Với t1 ta cú M1;1;3.() Với t =− ta cú M;;⎜⎟−−. 0,25 3 ⎝⎠33 3 +) Thử lại: cả hai điểm M tỡm được đều thỏa món điều kiện M, O, A khụng thẳng hàng. ()− Vậy cú hai điểm M thỏa món yờu cầu bài toỏn là M1;1;31 và 0,25 ⎛⎞−−55 7 M;;2 ⎜⎟. ⎝⎠33 3 IV 2,00 1 Tớnh diện tớch hỡnh phẳng (1,00 điểm) Phương trỡnh hoành độ giao điểm của hai đường đó cho là: 0,25 −+x4xxx02 =⇔= hoặc x3.= Diện tớch của hỡnh phẳng cần tỡm là: 33 S = ∫∫−+x22 4x − xdx =−+ x 3x dx. 0,25 00 2/4
4. Do 0x3≤≤ nờn −+x3x02 ≥. Suy ra 3 3 32 2 ⎛⎞xx 9 S=−+() x 3x dx =−+⎜⎟ 3 =. ∫ 32 2 0 ⎝⎠0 0,50 9 Vậy S = (đvdt). 2 2 Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của P=+− 2() x33 y 3xy (1,00 điểm) Ta cú: P=+ 2() x y() x22 +−−=+ y xy 3xy 2()() x y 2 −− xy 3xy. t22 − Đặt x+= y t. Do xy22+=2 nờn xy = . Suy ra 2 0,25 22−− ⎛⎞t2 t232 3 P2t2=−⎜⎟ − 3 =−−++ t t 6t3. ⎝⎠22 2 2 Do ()xy+≥ 4xy nờn t2t222≥−⇔−≤≤() 2t2. 0,25 3 Xột ft()=− t32 − t + 6t3 + với t2;2∈−[ ]. 2 Ta cú : f'() t=− 3t2 − 3t + 6 ⎡t22;2=− ∈[ − ] f'()t=⇔ 0 ⎢ =∈− ⎣⎢t1[]2;2. Bảng biến thiờn: t -2 1 2 0,50 f’(t) + 0 - 13 f(t) 2 -7 1 13 Vậy max P==− , min P 7. 2 V.a 2,00 1 Tỡm A ∈∈Ox,B Oy (1,00 điểm) JJJG +) AOx,BOyAa;0,B0;b,ABa;b∈∈⇒ ()()=− ( ). 0,25 G +) Vectơ chỉ phương của d là u2;1= (). ⎛⎞ab 0,25 Tọa độ trung điểm I của AB là ⎜⎟;. ⎝⎠22 +) A, B đối xứng với nhau qua d khi và chỉ khi JJJG G −+= ⎧ 2a b 0 = ⎪⎪⎧AB.u= 0 ⎧a2 ⎨⎨⇔⇔a ⎨ ⎪Id∈ −+=b30 ⎩b = 4. 0,50 ⎩ ⎪2 ⎩ Vậy A2()();0,B0;4. 3/4
5. 2 Tỡm số hạng khụng chứa x trong khai triển (1,00 điểm) 18 ⎛⎞+ 1 Số hạng tổng quỏt trong khai triển Niutơn của ⎜⎟2x là ⎝⎠5 x 0,50 k 6k 18− k 18− kk⎛⎞1 18−k5 TC.2x.+ ==() C.2.x. k1 18 ⎜⎟5 18 ⎝⎠x 6k Số hạng khụng chứa x ứng với k thỏa món: 18 −=⇔=0 k 15. 5 0,50 ==15 3 Vậy số hạng cần tỡm là T16 C 18 .2 6528. V.b 2,00 1 Giải phương trỡnh logarit (1,00 điểm) Điều kiện x1>− . Phương trỡnh đó cho tương đương với 2 ()+− () ++= 0,25 log22 x 1 3log x 1 2 0. =(+) 2 −+=⇔= = Đặt tlogx12 ta được t3t20t1 hoặc t2. 0,25 = ()+=⇔+=⇔= Với t1 ta cú log2 x 1 1 x 1 2 x 1 (thỏa món điều kiện). = ()+=⇔+=⇔= Với t2 ta cú log2 x 1 2 x 1 4 x 3 (thỏa món điều kiện). 0,50 Vậy nghiệm của phương trỡnh đó cho là: x1,x3.== 2 Chứng minh BCNM là hỡnh chữ nhật và tớnh (1,00 điểm) 1 +) MN là đường trung bỡnh của ΔSAD ⇒ MN // AD và MN= AD 2 ⇒ MN // BC và MN= BC ⇒ BCNM là hỡnh bỡnh hành (1). S M N 0,25 A D B C +) BC⊥⊥ AB, BC SA⇒ BC⊥ () SAB⇒ BC⊥ BM ( 2) . 0,25 T ừ (1) và (2) suy ra BCNM là hỡnh chữ nhật. = = +) Ta cú: S2BCNMSΔ BCM⇒ V S.BCNM 2V. S.BCM 1111a3 V ==V CB.SΔΔ = CB.S = CB. .SA.AB = . S.BCM C.SBM 36626SBM SAB 0,50 a3 Vậy V = (đvtt). S.BCNM 3 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì đ−ợc đủ điểm từng phần nh− đáp án quy định. Hết 4/4