Đề thi tuyển sinh Cao đẳng môn Toán - Khối A, B, D - Năm học 2010 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Cao đẳng môn Toán - Khối A, B, D - Năm học 2010 (Có đáp án)

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn: TOÁN; Khối: A,B,D ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề. I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x 3 + 3 x 2 − 1. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng −1. Câu II (2,0 điểm) 5 x 3x 1. Giải phương trình 4cos cos + 2(8sin x − 1)cos x = 5. 2 2 ⎧⎪ 2 2 x + y = 3 − 2 x − y 2. Giải hệ phương trình ( xy , ∈ \ ). ⎨2 2 ⎩⎪ x − 2 xy − y = 2 Câu III (1,0 điểm) 1 2 x − 1 Tính tích phân I = dx. ∫ + 0 x 1 Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 45o. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD. Câu V (1,0 điểm) Cho hai số thực dương thay đổi x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y ≤1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 biểu thức A = + ⋅ x xy II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( 1; − 2; 3), B ( −1; 0;1) và mặt phẳng ( P ): x + y + z + 4 = 0. 1. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P). AB 2. Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính bằng , có tâm thuộc đường thẳng AB và (S) 6 tiếp xúc với (P). Câu VII.a (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (2 − 3i ) z + (4 + i ) z = − (1 + 3i ) 2. Tìm phần thực và phần ảo của z. B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) x y −1 z Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = = và mặt phẳng − 2 1 1 ( P ): 2 x − y + 2 z − 2 = 0. 1. Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P). 2. Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho M cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng (P). Câu VII.b (1,0 điểm) Giải phương trình z 2 − (1 + i ) z + 6 + 3i = 0 trên tập hợp các số phức. Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2010 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN; Khối A,B,D (Đáp án - thang điểm gồm 03 trang) ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu Đáp án Điểm I 1. (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (2,0 điểm) • Tập xác định: D = \. x = 0 • 2 ⎡ 0,25 Chiều biến thiên: y ' = 3 x + 6 x ; y ' = 0 ⇔ ⎢ ⎣x =−2. - Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞; −2) và (0; +∞). - Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −2; 0). • Cực trị: 0,25 =− = − = - Hàm số đạt cực đại tại x 2 và yC§ y( 2) 3. = = = − - Hàm số đạt cực tiểu tại x 0 và yCT y(0) 1. • Giới hạn: lim y =−∞; lim y =+∞. x →−∞ x→+∞ • Bảng biến thiên: x − ∞ −2 0 + ∞ − y' + 0 0 + 0,25 + ∞ y 3 −1 − ∞ • Đồ thị: y 3 0,25 O −2 x −1 2. (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến Tung độ tiếp điểm là: y ( −1 ) =1. 0,25 Hệ số góc của tiếp tuyến là: k = y '( −1 ) = − 3 0,25 Phương trình tiếp tuyến là: y − 1 = k ( x +1) 0,25 ⇔ y = −3 x −2. 0,25 II 1. (1,0 điểm) Giải phương trình (2,0 điểm) Phương trình đã cho tương đương với: 2cos4 x + 8sin 2 x − 5 =0 0,25 ⇔ 4sin 2 2 x − 8sin 2 x + 3 =0 0,25 3 • sin 2 x = : vô nghiệm. 0,25 2 ⎡ π x = + kπ 1 ⎢ 12 • sin 2 x = ⇔ ⎢ ( k ∈]). 0,25 2 5π ⎢x = + kπ ⎣⎢ 12 Trang 1/3
3. Câu Đáp án Điểm ⎪⎧22xy+=−− 32 xy (1) 2. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình ⎨ 22 ⎩⎪xxyy−−=22(2) Điều kiện: 20.xy+≥ Đặt txyt=+≥2,0. Phương trình (1) trở thành: tt2 +−=230 0,25 ⎡t =1 ⇔ ⎢ 0,25 ⎣t =−3 (lo¹i). x =1 = =− 2 +−= ⎡ Với t 1, ta có yx12.Thay vào (2) ta được xx230⇔ ⎢ 0,25 ⎣x =−3. Với x =1 ta được y =−1, với x =−3 ta được y = 7. 0,25 Vậy hệ có hai nghiệm (x; y) là (1;− 1) và (3;7).− III (1,0 điểm) Tính tích phân (1,0 điểm) 111 =−⎛⎞3 = −dx Id⎜⎟223xdx 0,25 ∫∫∫⎝⎠x ++11x 000 1 1 =−23ln1xx + 0,50 0 0 =−23ln2. 0,25 IV (1,0 điểm) Tính thể tích khối chóp (1,0 điểm) S A D I 45o B C Gọi I là trung điểm AB. Ta có SA= SB⇒ SI⊥ AB. Mà ()(SAB⊥ ABCD ),suy ra SI⊥ (). ABCD 0,25 a 5 Góc giữa SC và (ABCD) bằng SCIn và bằng 45O, suy ra SI== IC IB22 + BC = ⋅ 0,25 2 1 Thể tích khối chóp S.ABCD là VSIS= . 0,25 3 ABCD a3 5 = (đơn vị thể tích). 0,25 6 V (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (1,0 điểm) 111 2 Ta có A =+ ≥+ 0,25 x xy xxy+ 12 4 8 8 ≥⋅2. = ≥ = ≥8. 0,50 xxy++2(xx+ y ) 2(x xy+ )3 xy+ 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi xy==. Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 8. 0,25 4 VI.a 1. (1,0 điểm) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc (2,0 điểm) JG Hình chiếu vuông góc A' của A trên (P) thuộc đường thẳng đi qua A và nhận u = (1;1;1) làm 0,25 vectơ chỉ phương. Tọa độ A' có dạng A'(1;2;3).+−+ttt + 0,25 Ta có: AP'()∈⇔+=⇔=− 3 t 60 t 2. 0,25 Vậy A'(−− 1; 4;1). 0,25 Trang 2/3
4. Câu Đáp án Điểm 2. (1,0 điểm) Viết phương trình mặt cầu JJJG AB 3 Ta có AB =−(2;2;2) − =− 2(1;1;1). − Bán kính mặt cầu là R ==⋅ 0,25 63 Tâm I của mặt cầu thuộc đường thẳng AB nên tọa độ I có dạng It(1+−− ; 2 tt ; 3 + ). 0,25 AB t + 6 3 ⎡t =−5 Ta có: dI(,()) P =⇔ =⇔⎢ 0,25 633 ⎣t =−7. 1 • tI=−5(4;3;2).⇒ −− Mặt cầu (S) có phương trình là (4)(3)(2)xyz++−++=⋅222 3 0,25 1 • tI=−7(6;5;4).⇒ −− Mặt cầu (S) có phương trình là (6)(5)(4)xyz++−++=⋅222 3 VII.a (1,0 điểm) Tìm phần thực và phần ảo (1,0 điểm) Gọi zabia=+(, ∈\\ b ∈ ). Đẳng thức đã cho trở thành 642()86ab+− abi + =− i 0,50 ⎧⎧648ab+= a =− 2 ⇔⇔⎨⎨ 0,25 ⎩⎩226ab+= b = 5. Vậy z có phần thực bằng – 2, phần ảo bằng 5. 0,25 VI.b 1. (1,0 điểm) Viết phương trình mặt phẳng JG JG (2,0 điểm) d có vectơ chỉ phương a =−( 2;1;1),(P) có vectơ pháp tuyến n =−(2; 1;2). 0,25 JGJG Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P). Ta có A(0;1;0)∈d nên (Q) đi qua A và [,]an 0,25 là vectơ pháp tuyến của (Q). JG JG ⎛⎞111−− 2 2 1 Ta có [,]an == ; ; 3(1;2;0). ⎜⎟−− 0,25 ⎝⎠122221 Phương trình mặt phẳng (Q) là xy+−=220. 0,25 2. (1,0 điểm)Tìm tọa độ điểm M M ∈d nên tọa độ điểm M có dạng M (2;1;).−+ttt 0,25 Ta có MOdMP=⇔+++=+(,()) 4 t222 ( t 1) t t 1 0,25 ⇔=⇔=50tt2 0. 0,25 Do đó M (0;1;0). 0,25 VII.b (1,0 điểm) Giải phương trình (1,0 điểm) Phương trình có biệt thức Δ=(1 +ii )2 − 4(6 + 3 ) =− 24 − 10 i 0,25 =−(1 5i ) 2 0,50 Phương trình có hai nghiệm là zi=−12 và zi= 3. 0,25 Hết Trang 3/3