Đề thi tuyển sinh Cao đẳng môn Toán - Khối A, A1, B, D - Năm học 2014 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Cao đẳng môn Toán - Khối A, A1, B, D - Năm học 2014 (Có đáp án)

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ —AÿO TAœO —E¿ THI TUYE≈N SINH CAO —A⁄NG NA M 2014 −−−−−−−−−− Mo‚n: TOAŸN; Kho·i A, Kho·i A1, Kho·i B va¯ Kho·i D Ề CHÍNH THƯ—C Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề −−−−−−−−−−−−−−−−−−− Ca‚u 1 (2,0 điểm). Cho ham soŸ y = x3 + 3x2 1 (1). − − a) KhaÛo saỊt sĨÁ bieŸn thie⁄n va veÌ Èoÿ thÍ (C) cuÛa ham soŸ (1). b) VieŸt phĨÏng tr‰nh tieŸp tuyeŸn cuÛa Èoÿ thÍ (C) taÁi Èie›m thuo‹c (C) coỊ hoanh Èo‹ ba‡ng 1. Ca‚u 2 (1,0 điểm). Cho soŸ phĨỊc z thoÛa maÌn Èieÿu kie‹n 2z i z =2+5i. T‰m phần thực và phần ảo của z. − 2 x2 + 2 ln x Ca‚u 3 (1,0 điểm). Tính tích phân I = dx. x Z1 Ca‚u 4 (1,0 điểm). Giải phương trình 32x+1 4.3x +1=0 (x R). − ∈ Ca‚u 5 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho Èie›m A( 2; 5) va ÈĨÏng thaÚng d : 3x 4y +1=0. VieŸt phĨÏng tr‰nh ÈĨÏng thaÚng qua A va vuo⁄ng− goỊc vÏỊi d. T‰m toÁa Èo‹ Èie›m− M thuo‹c d sao cho AM = 5. Ca‚u 6 (1,0 điểm). Trong kho⁄ng gian vÏỊi he‹ toÁa Èo‹ Oxyz, cho caỊc Èie›m A(2; 1; 1), B(1; 2; 3) va ma„t phaÚng (P ) : x + 2y 2z +3=0. T‰m toÁa Èo‹ h‰nh chieŸu vuo⁄ng− goỊc cuÛa A tre⁄n (P ). VieŸt phĨÏng tr‰nh ma„t− phaÚng chĨỊa A, B va vuo⁄ng goỊc vÏỊi (P ). Ca‚u 7 (1,0 điểm). Cho h‰nh choỊp S.ABCD coỊ ÈaỊy ABCD la h‰nh vuo⁄ng caÁnh a, SA vuo⁄ng goỊc vÏỊi ÈaỊy, SC taÁo vÏỊi ÈaỊy mo‹t goỊc ba‡ng 45◦. TÂnh theo a the› tÂch cuÛa khoŸi choỊp S.ABCD va khoaÛng caỊch tĨ Èie›m B ÈeŸn ma„t phaÚng (SCD). x2 + xy + y2 = 7 R Ca‚u 8 (1,0 điểm). GiaÛi he‹ phĨÏng tr‰nh 2 2 (x, y ). (x xy 2y = x + 2y ∈ − − − Ca‚u 9 (1,0 điểm). T‰m giaỊ trÍ lÏỊn nhaŸt va giaỊ trÍ nhoÛ nhaŸt cuÛa ham soŸ f(x) = 2√x + √5 x. − He·t −−−−−− −−−−−− Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. HoÁ va te⁄n th sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; SoŸ baỊo danh:
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ —AÿO TAœO —AŸP AŸN - THANG —IE≈M —E¿ THI TUYE≈N SINH CAO —A⁄NG NA M 2014 −−−−−−−−−− Ề CHÍNH THƯ—C Mo‚n: TOAŸN; Kho·i A, Kho·i A1, Kho·i B va¯ Kho·i D ( aỊp aỊn - Thang Èie›m goÿm 03 trang) −−−−−−−−−−−−−−−−−−− Câu —a˘p a˘n —ieÂm 1 a) (1,0 Èie›m) (2,0È) Ta‹p xaỊc ÈÍnh: D = R. • SĨÁ bieŸn thie⁄n: • 0,25 0 0 x =0 - Chieÿu bieŸn thie⁄n: y = 3x2 +6x; y =0 − ⇔ x =2. h CaỊc khoaÛng nghÍch bieŸn: ( ;0) va (2;+ ); khoaÛng Èoÿng bieŸn: (0; 2). −∞ ∞ - CĨÁc trÍ: Ham soŸ ÈaÁt cĨÁc tie›u taÁi x =0, y CT = 1; ÈaÁt cĨÁc ÈaÁi taÁi x =2, yC =3. 0,25 − - GiÏỊi haÁn taÁi vo⁄ cĨÁc: lim y = + ; lim y = . x→−∞ ∞ x→+∞ −∞ - BaÛng bieŸn thie⁄n: x 0 2 + 0 −∞ ∞ y 0 + 0 − − 0,25 + PP 1 3 PP y ∞ PP  PP PPq  PPq 1 − −∞ oÿ thÍ: • ¡ y ¥ 3 ¢ 0,25 £ 2 x ¤ 1 − b) (1,0 Èie›m) He‹ soŸ goỊc cuÛa tieŸp tuyeŸn la y0(1) = 3. 0,25 Khi x =1 th‰ y =1, ne⁄n toÁa Èo‹ tieŸp Èie›m la M(1; 1). 0,25 PhĨÏng tr‰nh tieŸp tuyeŸn d caÿn t‰m la y 1=3(x 1) 0,25 − − d : y =3x 2. 0,25 ⇔ − 2 a„t z = a + bi (a, b R). TĨ giaÛ thieŸt ta ÈĨÏÁc 2(a + bi) i(a bi)=2+5i 0,25 ∈ − − (1,0È) 2a b =2 − 0,25 ⇔ 2b a =5  − a =3 0,25 ⇔ b =4.  Do ÈoỊ soŸ phĨỊc z coỊ phaÿn thĨÁc ba‡ng 3 va phaÿn aÛo ba‡ng 4. 0,25 1
3. Câu —a˘p a˘n —ieÂm 2 2 3 2 ln x Ta coỊ I = xdx + dx. 0,25 (1,0È) x Z1 Z1 2 x2 2 3 xdx = = . 0,25 • 2 1 2 Z1 2 2 2 ln x 2 dx = 2 ln xd(ln x)=ln2 x = ln2 2. 0,25 • x 1 Z1 Z1 3 2 Do ÈoỊ I = + ln 2. 0,25 2 4 a„t t =3x, t > 0. PhĨÏng tr‰nh ÈaÌ cho trÏÛ thanh 3t 2 4t +1=0 0,25 − (1,0È) t =1 1 0,25 ⇔ t = . h 3 VÏỊi t =1 ta ÈĨÏÁc 3x =1 x =0. 0,25 • ⇔ 1 VÏỊi t = ta ÈĨÏÁc 3x =3−1 x = 1. • 3 ⇔ − 0,25 Va‹y nghie‹m cuÛa phĨÏng tr‰nh ÈaÌ cho la x =0 hoa„c x = 1. − 5 ĨÏng thaÚng d coỊ vectÏ phaỊp tuyeŸn n = (3; 4). 0,25 −→ − (1,0È) ĨÏng thaÚng ∆ caÿn vieŸt phĨÏng tr‰nh Èi qua A va nha‹n −→n lam vectÏ chfi phĨÏng, ne⁄n ∆:4(x +2)+3(y 5)=0 ∆:4x +3y 7=0. 0,25 − ⇔ − 3t +1 M d, suy ra M t; . 0,25 ∈ 4  3t +1 2 AM =5 (t +2)2 + 5 =52 t =1. Do ÈoỊ M(1; 1). 0,25 ⇔ 4 − ⇔   x 2 y 1 z +1 6 PhĨÏng tr‰nh ÈĨÏng thaÚng qua A va vuo⁄ng goỊc vÏỊi (P ) la − = − = . (1,0È) 1 2 2 0,25 GoÁi H la h‰nh chieŸu vuo⁄ng goỊc cuÛa A tre⁄n (P ), suy ra H(2 + t;1+2t; 1 2−t). − − Ta coỊ H (P ) ne⁄n (2 + t)+2(1+2t) 2( 1 2t)+3=0 t = 1. Do ÈoỊ H(1; 1;1). 0,25 ∈ − − − ⇔ − − Ta coỊ −−→AB =( 1;1;4) va vectÏ phaỊp tuyeŸn cuÛa (P ) la n = (1;2; 2). − −→ − 0,25 Suy ra [−−→AB, n ]=( 10; 2; 3). −→ − − Ma„t phaÚng Q caÿn vieŸt phĨÏng tr‰nh Èi qua A va nha‹n AB, n lam vectÏ phaỊp tuyeŸn, ( ) [ −−→ −→] 0,25 ne⁄n (Q): 10(x 2)+2(y 1) 3(z +1)=0 (Q):10x 2y +3z 15=0. − − − − ⇔ − − 7 Ta coỊ SA (ABCD) ne⁄n goỊc giĨÌa SC va ÈaỊy la SCA[ . S ⊥ (1,0È) Do ABCD la h‰nh vuo⁄ng caÁnh a, ne⁄n AC = √2 a. 0,25 Suy ra SA = AC. tan SCA[ = √2 a. 1 √2 a3 H The› tÂch khoŸi choỊp la VS.ABCD = .SA.SABCD = . 0,25 3 3 GoÁi H la h‰nh chieŸu vuo⁄ng goỊc cuÛa A tre⁄n SD, suy ra © A¦ D AH SD. Do CD AD va CD SA ne⁄n CD (SAD). ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ 0,25 Suy ra CD AH. Do ÈoỊ AH (SCD). ¨ § ⊥ ⊥ 1 1 1 3 B C Ta coỊ = + = . AH2 SA2 AD2 2a2 √6 a 0,25 Do ÈoỊ d(B, (SCD)) = d(A, (SCD)) = AH = . 3 2
4. Câu —a˘p a˘n —ieÂm x2 + xy + y2 =7 (1) 8 2 2 (1,0È) (x xy 2y = x +2y (2). 0,25 − − − Ta coỊ (2) (x 2y)(x + y +1)=0 ⇔ − x =2y 0,25 ⇔ x = y 1. − − h y =1 x =2 VÏỊi x =2y, phĨÏng tr‰nh (1) trÏÛ thanh 7y 2 =7 ⇒ 0,25 • ⇔ y = 1 x = 2. h − ⇒ − y = 3 x =2 VÏỊi x = y 1, phĨÏng tr‰nh (1) trÏÛ thanh y 2 + y 6=0 − ⇒ • − − − ⇔ y =2 x = 3. h ⇒ − 0,25 Va‹y caỊc nghie‹m (x; y) cuÛa he‹ ÈaÌ cho la: (2; 1), ( 2; 1), (2; 3), ( 3;2). − − − − 9 Ta‹p xaỊc ÈÍnh cuÛa ham soŸ la D = [0;5]. (1,0È) 1 1 0,25 Ta coỊ f 0(x) = , x (0; 5). √x − 2√5 x ∀ ∈ − f 0(x)=0 √x =2√5 x x =4. 0,25 ⇔ − ⇔ Ta coỊ f(0) = √5; f(4) = 5; f(5)= 2√5. 0,25 GiaỊ trÍ nhoÛ nhaŸt cuÛa ham soŸ la f(0) = √5. • 0,25 GiaỊ trÍ lÏỊn nhaŸt cuÛa ham soŸ la f(4) = 5. • He·t −−−−−− −−−−−− 3