Đề thi minh họa THPT Quốc gia môn Toán - Năm học 2015 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi minh họa THPT Quốc gia môn Toán - Năm học 2015 (Có đáp án)

1. BỘ GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO T ẠO ĐỀ THI MINH H ỌA - KỲ THI THPT QU ỐC GIA NĂM 2015 Môn: TOÁN Th ời gian làm bài: 180 phút. 2x − 1 Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm s ố y = . x + 1 a) Kh ảo sát s ự bi ến thiên và v ẽ đồ th ị ( C) c ủa hàm s ố đã cho. b) Vi ết ph ươ ng trình ti ếp tuy ến c ủa đồ th ị (C), bi ết ti ếp điểm có hoành độ x = 1. Câu 2.(1,0 điểm) π 3 tan α a) Cho góc α th ỏa mãn: <α < π và sin α = . Tính A = . 2 5 1+ tan 2 α b) Cho s ố ph ức z thỏa mãn hệ th ức: (1+iz ) +− (3 iz ) =− 2 6 i . Tính mô đun c ủa z. Câu 3.(0,5 điểm) Gi ải ph ươ ng trình: log(3x+ 2) = 1 − log 3 x . Câu 4.(1,0 điểm) Gi ải bất ph ươ ng trình: xxx2++ −≥2 3( xx 2 −− 2 2). 2 Câu 5.(1,0 điểm) Tính tích phân: I=∫ (2 x3 + ln xx )d. 1 Câu 6.(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t ại B, AC = 2a,
   ACB = 30o , Hình chi ếu vuông góc H của đỉnh S trên m ặt đáy là trung điểm c ủa c ạnh AC và SH= 2 a . Tính theo a th ể tích kh ối chóp S.ABC và kho ảng cách t ừ điểm C đến m ặt ph ẳng ( SAB). Câu 7.(1,0 điểm) Trong m ặt ph ẳng v ới h ệ t ọa độ Oxy , cho tam giác OAB có các đỉnh A và B thu ộc đường th ẳng ∆:4x + 3 y − 12 = 0 và điểm K(6; 6) là tâm đường tròn bàng ti ếp góc O. G ọi C là điểm nằm trên ∆ sao cho AC= AO và các điểm C, B nằm khác phía nhau so v ới điểm A. Bi ết điểm C có 24 hoành độ b ằng , tìm t ọa độ của các đỉnh A, B. 5 Câu 8.(1,0 điểm) Trong không gian v ới h ệ t ọa độ Oxyz , cho hai điểm A(2; 0; 0) và B(1; 1;− 1). Vi ết ph ươ ng trình m ặt ph ẳng trung tr ực ( P) c ủa đoạn th ẳng AB và ph ươ ng trình m ặt c ầu tâm O, ti ếp xúc với ( P). Câu 9.(0,5 điểm) Hai thí sinh A và B tham gia m ột bu ổi thi v ấn đáp. Cán b ộ hỏi thi đư a cho m ỗi thí sinh m ột bộ câu h ỏi thi g ồm 10 câu h ỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình th ức gi ống h ệt nhau, m ỗi phong bì đựng 1 câu h ỏi; thí sinh ch ọn 3 phong bì trong s ố đó để xác định câu h ỏi thi c ủa mình. Bi ết r ằng b ộ 10 câu h ỏi thi dành cho các thí sinh là nh ư nhau, tính xác su ất để 3 câu h ỏi A ch ọn và 3 câu h ỏi B ch ọn là gi ống nhau. Câu 10.(1,0 điểm) Xét s ố th ực x. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức sau: 32(x2 + 2 x + 1 ) 1 1 P = + + . 3 2x2+−() 3332 x + x 2 ++ () 333 x + HẾT
2. BỘ GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO T ẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI MINH H ỌA - KỲ THI THPT QU ỐC GIA N ĂM 2015 Môn: TOÁN CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM Câu 1 a) (1,0 điểm) (2,0 điểm) ● Tập xác định: D =» \{ − 1} . ● Gi ới h ạn và ti ệm c ận: lim y = − ∞ , lim y = + ∞ ; limy= lim y = 2. 0,25 x →( − 1) + x →( − 1) − x→−∞ x →+∞ Suy ra, đồ th ị hàm s ố có m ột ti ệm c ận đứng là đường th ẳng x = − 1 và m ột ti ệm c ận ngang là đường th ẳng y = 2. ● Sự bi ến thiên: 3 - Chi ều bi ến thiên: y' = > 0 ∀x ∈ D. (x + 1) 2 0,25 Suy ra, hàm s ố đồng bi ến trên m ỗi kho ảng (− ∞; − 1 ) và (−1; + ∞ ) . - Cực tr ị: Hàm s ố đã cho không có c ực tr ị. ư L u ý: Cho phép thí sinh không nêu k ết lu ận v ề cực tr ị c ủa hàm s ố. - Bảng bi ến thiên: x – ∞ – 1 + ∞ y' + + 0,25 + ∞ 2 y 2 – ∞ ● Đồ th ị ( C): y 2 0,25 −1 O ½ x −1
3. b) (1,0 điểm) 1 Tung độ y của ti ếp điểm là: y= y (1) = . 0,25 0 0 2 3 Suy ra h ệ s ố góc k của ti ếp tuy ến là: k= y '(1) = . 0,25 4 3 1 Do đó, ph ươ ng trình c ủa ti ếp tuy ến là: y=( x − 1) + ; 0,25 4 2 3 1 hay y= x − . 0,25 4 4 Câu 2 a) (0,5 điểm) tan α 3 (1,0 điểm) Ta có: A = =tan α.cos 2 α =sin α.cos α = cos α. (1) 0,25 1+ tan 2 α 5 3  2 16 cos 2α =−1 sin 2 α =−1  = . (2) 5  25 π  4 Vì α ∈ ; π  nên cos α 0. (1) ● Với điều ki ện đó, ký hi ệu (2) là ph ươ ng trình đã cho, ta có: (0,5 điểm) 0,25 (2) ⇔ log(3x+ 2) + log 3 x = 1 ⇔ log3 (x ( x + 2)) = log 3 3 ⇔ x2 +2 x − 3 = 0 ⇔ x = 1 (do (1)). 0,25 Câu 4 ● Điều ki ện xác định: x ≥1 + 3. (1) (1,0 điểm) ● Với điều ki ện đó, ký hi ệu (2) là b ất ph ươ ng trình đã cho, ta có: 0,25 (2) ⇔ xx2 +−+2 2 2 xxx ( + 1)( −≥ 2) 3( xx2 −− 2 2) ⇔ xx(− 2)( x +≥ 1) xx ( −− 2) 2( x + 1) ⇔ ( xx(−− 2) 2( x + 1))( xx ( −++≤ 2) ( x 1)) 0. (3) 0,50 Do v ới m ọi x th ỏa mãn (1), ta có x( x− 2) + ( x +> 1) 0 nên (3) ⇔ x( x− 2) ≤ 2( x + 1) ⇔ x2 −6 x − 4 ≤ 0 ⇔ 3− 13 ≤≤+x 3 13. (4) 0,25 Kết h ợp (1) và (4), ta được t ập nghi ệm c ủa b ất ph ươ ng trình đã cho là:   1+ 3;3 + 13. 
4. Câu 5 2 2 3 0,25 (1,0 điểm) Ta có: I=∫2 xx d + ∫ ln xx d . (1) 1 1 2 2 3 Đặt I1 = ∫ 2 x d x và I2 = ∫ ln x d x . Ta có: 1 1 2 0,25 14 15 I1 = x = . 21 2 2 2 Ixxxx=.ln2 − d(ln ) =−=−=− 2ln 2 d x 2ln 2 x 2 2ln 2 1. 2 1 ∫ ∫ 1 1 1 0,50 13 Vậy I= I + I = + 2ln 2. 1 2 2 Câu 6 (1,0 điểm) 1 Theo gi ả thi ết, HA= HC = AC = a và SH ⊥ mp( ABC ). 2 0,25 Xét ∆v. ABC , ta có: BCAC=.cos
   ACB = 2.cos30 ao = 3. a 1 1 3 Do đó S= ACBC. .sin
   ACB = .2.3.sin30 aao = a 2 . ABC 2 2 2 0,25 1 136 a3 Vậy V= SHS. = .2. aa 2 = . S. ABC3 ABC 32 6 Vì CA = 2HA nên d(C, ( SAB )) = 2d(H, ( SAB )). (1) Gọi N là trung điểm c ủa AB , ta có HN là đường trung bình c ủa ∆ABC . đ ⊥ ạ ⊥ ⊥ đ Do ó HN // BC . Suy ra AB HN . L i có AB SH nên AB mp( SHN ). Do ó 0,25 mp( SAB ) ⊥ mp( SHN ). Mà SN là giao tuy ến c ủa hai m ặt ph ẳng v ừa nêu, nên trong mp( SHN ), h ạ HK ⊥ SN , ta có HK ⊥ mp( SAB ). Vì v ậy d(H, ( SAB )) = HK . K ết h ợp v ới (1), suy ra d(C, ( SAB )) = 2HK . (2) Vì SH ⊥ mp( ABC ) nên SH ⊥ HN . Xét ∆v. SHN , ta có: 1 1 1 1 1 = + = + . HK2 SH 2 HN 222 a HN 2 1 3 a Vì HN là đường trung bình c ủa ∆ABC nên HN= BC = . 2 2 0,25 1 1 4 11 66 a Do đó = + = . Suy ra HK = . (3) HK22 a 2 3 a 2 6 a 2 11 2 66 a Th ế (3) vào (2), ta được d() C,() SAB = . 11
5. Câu 7 (1,0 điểm) Trên ∆, l ấy điểm D sao cho BD = BO và D, A nằm khác phía nhau so v ới B. Gọi E là giao điểm c ủa các đường th ẳng KA và OC ; g ọi F là giao điểm c ủa các đường th ẳng KB và OD . Vì K là tâm đường tròn bàng ti ếp góc O của ∆OAB nên KE là phân giác c ủa góc OAC
   . Mà OAC là tam giác cân t ại A (do AO = AC , theo gt) nên suy ra KE cũng là đường trung tr ực c ủa OC . Do đó E là trung điểm c ủa OC và KC = KO . Xét t ươ ng t ự đối v ới KF , ta c ũng có F là trung điểm c ủa OD và KD = KO . 0,50 Suy ra ∆CKD cân t ại K. Do đó, h ạ KH ⊥ ∆, ta có H là trung điểm c ủa CD . Nh ư v ậy: + A là giao c ủa ∆ và đường trung tr ực d1 của đoạn th ẳng OC ; (1) + B là giao c ủa ∆ và đường trung tr ực d2 của đoạn th ẳng OD , v ới D là điểm đối xứng c ủa C qua H và H là hình chi ếu vuông góc c ủa K trên ∆. (2) 24 Vì C ∈ ∆ và có hoành độ x = (gt) nên g ọi y là tung độ c ủa C, ta có: 0 5 0 24 12 4.+ 3y − 12 = 0. Suy ra y = − . 5 0 0 5 12 6  Từ đó, trung điểm E của OC có t ọa độ là ; −  và đường th ẳng OC có 5 5  ph ươ ng trình: x+2 y = 0. 0,25 Suy ra ph ươ ng trình c ủa d1 là: 2x− y − 60. = Do đó, theo (1), t ọa độ c ủa A là nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình: 4x+ 3 y − 12 = 0 {2x− y − 6 = 0. Gi ải h ệ trên, ta được A = (3; 0).
6. Gọi d là đường th ẳng đi qua K(6; 6) và vuông góc v ới ∆, ta có ph ươ ng trình c ủa d là: 3x− 4 y + 6 = 0. Từ đây, do H là giao điểm c ủa ∆ và d nên t ọa độ c ủa H là nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình: 4x+ 3 y − 12 = 0 {3x− 4 y + 6 = 0. 6 12  12 36  Gi ải h ệ trên, ta được H = ;  . Suy ra D = − ;  . 5 5  5 5  6 18  0,25 Do đó, trung điểm F của OD có t ọa độ là − ;  và đường th ẳng OD có 5 5  ph ươ ng trình: 3x+ y = 0. Suy ra ph ươ ng trình c ủa d2 là: x−3 y + 12 = 0. Do đó, theo (2), t ọa độ c ủa B là nghi ệm c ủa h ệ ph ươ ng trình: 4x+ 3 y − 12 = 0 {x−3 y + 12 = 0. Gi ải h ệ trên, ta được B = (0; 4). Câu 8 3 1 1  Gọi M là trung điểm c ủa AB , ta có M =; ; −  . (1,0 điểm) 2 2 2   0,25 Vì ( P) là m ặt ph ẳng trung tr ực c ủa AB nên ( P) đi qua M và AB =( − 1; 1; − 1) là một vect ơ pháp tuy ến c ủa ( P). 3  1   1  Suy ra, ph ươ ng trình c ủa ( P) là: (− 1)x −+−+−  y  ( 1)  z +  = 0 2  2   2  0,25 hay: 2x− 2 y + 2 z −= 1 0. |1|− 1 Ta có d( O , ( P ))= = . 0,25 22+ (2) − 2 + 2 2 2 3 1 Do đó, ph ươ ng trình m ặt c ầu tâm O, ti ếp xúc v ới ( P) là: x2+ y 2 + z 2 = 12 0,25 hay 12x2+ 12 y 2 + 12 z 2 −= 1 0. Câu 9 Không gian m ẫu Ω là t ập h ợp g ồm t ất c ả các c ặp hai b ộ 3 câu h ỏi, mà ở v ị trí (0,5 điểm) th ứ nh ất c ủa c ặp là b ộ 3 câu h ỏi thí sinh A ch ọn và ở v ị trí th ứ hai c ủa c ặp là b ộ 3 câu h ỏi thí sinh B ch ọn. 0,25 3 Vì A cũng nh ư B đều có C10 cách ch ọn 3 câu h ỏi t ừ 10 câu h ỏi thi nên theo quy 3 2 tắc nhân, ta có n()Ω = ( C10 ) . Kí hi ệu X là bi ến c ố “b ộ 3 câu h ỏi A ch ọn và b ộ 3 câu h ỏi B ch ọn là gi ống nhau”. Vì v ới m ỗi cách ch ọn 3 câu h ỏi c ủa A, B ch ỉ có duy nh ất cách ch ọn 3 câu h ỏi 3 3 giống nh ư A nên n(ΩX ) =C10 .1 = C 10 . n(Ω ) C3 1 1 0,25 Vì v ậy P( X )=X =10 == . 3 2 3 n()Ω C C10 120 ()10
7. Câu 10 Trong m ặt ph ẳng v ới h ệ t ọa độ Oxy , v ới m ỗi s ố th ực x, xét các điểm A( x ; x + 1) , (1,0 điểm) 3 1  3 1  B; −  và C −; −  . 2 2  2 2  0,25 OA OB OC Khi đó, ta có P = + + , trong đó a = BC , b = CA và c = AB . a b c Gọi G là tr ọng tâm ∆ABC , ta có: OAGA. OB . GB OC .3. GC OAGA OB . GB OC . GC  P =++ = ++  , aGA. bGB . cGC .2. ama bm . b cm . c  0,25 trong đó ma, m b và mc tươ ng ứng là độ dài đường trung tuy ến xu ất phát t ừ A, B, C của ∆ABC . Theo b ất đẳng th ức Cô si cho hai s ố th ực không âm, ta có 1 2 2 2 2 am.a = .32 ab() + 2 ca − 2 3 2 2 22 1 3a+() 2 b + 2 ca − a2+ b 2 + c 2 ≤. = . 232 23 0,25 a2+ b 2 + c 2 a2+ b 2 + c 2 Bằng cách t ươ ng t ự, ta c ũng có: b. m ≤ và c. m ≤ . b 2 3 c 2 3 3 3 Suy ra P≥() OAGA. + OB . GB + OC GC (1) a2+ b 2 + c 2    Ta có: OAGA.+ OBGB . + OCGC . ≥ OAGA . + OBGB . + OCGC (2)    OAGA. + OB  . GB +  OC . GC      =+()()()OG GA. GA ++ OG GB . GB ++ OG GC . GC     =OG.() GA +++++ GB GC GA2 GB 2 GC 2 2 2 2 0,25 4 2 2 2 a+ b + c =()ma ++ m b m c = . (3) 9 3 Từ (1), (2) và (3), suy ra P ≥ 3. Hơn n ữa, b ằng ki ểm tra tr ực ti ếp ta th ấy P = 3 khi x = 0. Vậy minP = 3.